Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

196 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
La razón es que dX(0,b)=(0,dv(0,b), 0), de modo que alrededor de un
punto (0,b) la función X se parece a la aplicación afín f(u, v) =(0,v,0), cuya
imagen es la recta x = z =0. Así pues, aunque topológicamente la imagen de
X es homeomorfa a un plano, desde el punto de vista del cálculo diferencial la
imagen de X alrededor de un punto (0,y,0) se parece a la recta x = z =0,yno
a un plano. Para evitar esto hemos de exigir que la imagen de dX(u, v) sea un
plano y no una recta. Esto es tanto como decir que la matriz jacobiana tenga
rango 2.
5.1 Variedades
Definición 5.1 Un conjunto S ⊂ R m es una variedad diferenciable de dimensión
n ≤ m y de clase C q si para cada punto p ∈ S existe un entorno
V de p, un abierto U en R n y una función X : U −→ R m de clase C q de modo
que el rango de la matriz JX sea igual a n en todo punto y X : U −→ S ∩ V
sea un homeomorfismo. Una aplicación X en estas condiciones se llama carta
de S alrededor de p.
En lo sucesivo supondremos que las variedades con las que trabajamos son de
clase C q para un q suficientemente grande como para que existan las derivadas
que consideremos (y sean continuas). Rara vez nos hará falta suponer q>3,
aunque de hecho todos los ejemplos que consideraremos serán de clase C ∞ .
La palabra “carta” hay que entenderla en el sentido de “mapa”. En efecto,
podemos pensar en U como un mapa “plano” de una región de S, y la aplicación
X es la que hace corresponder cada punto del mapa con el punto real que
representa.
S X
U
Alternativamente, podemos pensar en X −1 como una aplicación que asigna
a cada punto p ∈ S ∩ V unas coordenadas x =(x1,...,xn) ∈ U ⊂ R n , de forma
análoga a los sistemas de coordenadas en un espacio afín. 1 Dentro de poco
será equivalente trabajar con cartas o con sistemas de coordenadas, pero por el
momento podemos decir que las cartas son diferenciables y en cambio no tiene
sentido decir que las funciones coordenadas lo sean, pues no están definidas
sobre abiertos de R m .
1 Etimológicamente, una “variedad” no es más que un conjunto cuyos elementos vienen
determinados por “varias” coordenadas. En los resultados generales llamaremos x1,...,xn
a las coordenadas para marcar la analogía con R n , aunque en el caso de curvas seguiremos
usando la variable t (o s si la parametrización es la natural) y en el caso de superficies S ⊂ R 3
usaremos x, y, z para las coordenadas en R 3 y u, v para las coordenadas en S.