Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

14 Capítulo 1. Topología
Ejemplo Consideremos I =[0, 1] ⊂ R. Resulta que ]1/2, 1] es abierto en I,
pues ]1/2, 1] = ]1/2, 2[ ∩ I y]1/2, 2[ es abierto en R. Sin embargo ]1/2, 1] no es
abierto en R porque no es entorno de 1. Intuitivamente, ]1/2, 1] no contiene a
todos los puntos de alrededor de 1 en R (faltan los que están a la derecha de 1),
pero sí contiene a todos los puntos de alrededor de 1 en I.
La relación entre espacios y subespacios viene perfilada por los teoremas
siguientes. El primero garantiza que la topología relativa no depende del espacio
desde el que relativicemos.
Teorema 1.23 Si X es un espacio topológico (con topología T) yA ⊂ B ⊂ X,
entonces TA =(TB)A.
Demostración: Si U es abierto en TA, entonces U = V ∩ A con V ∈ T,
luego V ∩ B ∈ TB y U = V ∩ A =(V ∩ B) ∩ A ∈ (TB)A.
Si U ∈ (TB)A, entonces U = V ∩ A con V ∈ TB, luego V = W ∩ B con
W ∈ T. Así pues, U = W ∩ B ∩ A = W ∩ A ∈ TA. Por lo tanto TA =(TB)A.
Teorema 1.24 Si B es una base de un espacio X y A ⊂ X, entonces el conjunto
{B ∩ A | B ∈ B} es una base de A.
Demostración: Sea U un abierto en A y x ∈ U. Existe un V abierto
en X tal que U = V ∩ A. Existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ V , luego
x ∈ B ∩ A ⊂ V ∩ A = U. Por lo tanto la familia referida es base de A.
Similarmente se demuestra:
Teorema 1.25 Si Bx es una base de entornos (abiertos) de un punto x de un
espacio X y x ∈ A ⊂ X, entonces {B ∩ A | B ∈ Bx} es una base de entornos
(abiertos) de x en A.
Teorema 1.26 Sea M un espacio métrico y sea A ⊂ M. Entonces d ′ = d|A×A
es una distancia en A y la topología que induce es la topología relativa.
Demostración: Una base para la topología inducida por la métrica de A
sería la formada por las bolas
B d′
ɛ (x) ={a ∈ A | d ′ (x, a)