Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.1. Medidas positivas 255
Éste último es el caso del área en el plano o el volumen en el espacio. El área
del plano es infinita, pero podemos descomponerlo en una unión numerable de
bolas de área finita. También se habla de espacios medida unitarios, finitos o
σ-finitos, según sea la medida definida en ellos.
La σ-álgebra más simple es la formada por todos los subconjuntos de X, pero
ya hemos comentado que no podremos definir medidas interesantes sobre ella.
Es claro que la intersección de una familia de σ-álgebras sobre un conjunto X
es de nuevo una σ-álgebra, por lo que dado G ⊂ X existe una mínima σ-álgebra
que contiene a G. Se la llama σ-álgebra generada por G. Si X es un espacio
topológico, la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos recibe el nombre
de σ-álgebra de Borel. Una medida definida sobre la σ-álgebra de Borel de un
espacio topológico X recibe el nombre de medida de Borel en X.
Las propiedades siguientes de las medidas se deducen inmediatamente de la
definición. Usamos el convenio de que si a ∈ R entonces a+∞ =+∞+∞ =+∞.
Teorema 7.2 Sea X un espacio medida.
a) Si A ⊂ B son medibles entonces µ(A) ≤ µ(B).
b) Si A ⊂ B son medibles y µ(A) < +∞, entonces µ(B \ A) =µ(B) − µ(A).
c) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos µ(A ∪ B) =µ(A)+µ(B).
d) Si A y B son medibles entonces µ(A ∪ B) ≤ µ(A)+µ(B).
e) Si {An} ∞ n=0 son medibles entonces
∞
µ
n=0
An
∞
≤ µ(An).
n=0
f) Si {An} ∞ n=0 son medibles y cada An ⊂ An+1, entonces
∞
µ
n=0
An
= sup µ(An).
n
g) Si {An} ∞ n=0 son medibles, cada An+1 ⊂ An y µ(A0) < +∞, entonces
∞
µ An =ínf µ(An).
n
n=0
Por ejemplo, para probar el último apartado aplicamos el anterior a los
conjuntos A0 \ An.
Los conjuntos de medida cero se llaman conjuntos nulos. Si A es un conjunto
nulo y B ⊂ A o bien B no es medible o bien es nulo. Sucede que siempre podemos
suponer que es nulo, en el sentido de que la σ-álgebra donde está definida una
medida siempre se puede extender para que incluya a todos los subconjuntos de
los conjuntos nulos. Antes de probar esto conviene definir una medida completa
como una medida para la cual todos los subconjuntos de un conjunto nulo son
medibles (y por lo tanto nulos).