Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.3. Sucesiones exactas 411
A partir de la primera sucesión, un simple cálculo de dimensiones nos da la
relación dim H 1 (S n ) = dim H 0 (S n−1 ) − 1, con lo que
La segunda sucesión nos da
dim H 1 (S n )=
1 si n =1
0 si n>1
dim H k+1 (S n ) = dim H k (S n−1 ), para k>1.
A partir de aquí, una simple inducción prueba que
dim H k (S n
1 si k =0ok = n
)=
0 si 1 ≤ k ≤ n − 1
Éste es el mejor resultado que podíamos obtener, teniendo en cuenta que ya
sabíamos que H n (S n ) = 0.
Ejercicio: Calcular la cohomología de un toro.
Ejercicio: Calcular la cohomología de un círculo abierto con n agujeros. Probar que
el grupo H 1 de R 2 con infinitos agujeros tiene dimensión infinita.
Veamos un último ejemplo más sofisticado. Sea J : S −→ S una involución
en una variedad, es decir, un difeomorfismo tal que J ◦ J sea la identidad. El
caso típico es J : S n −→ S n dado por J(p) =−p.
Entonces J ♯ :Λ(S) −→ Λ(S) es un automorfismo con la misma propiedad:
J ♯ ◦ J ♯ = I. Podemos descomponer Λ(S) =Λ+(S) ⊕ Λ−(S), donde
Λ+(S) ={ω ∈ Λ(S) | J ♯ (ω) =ω}, Λ−(S) ={ω ∈ Λ(S) | J ♯ (ω) =−ω}.
En efecto, basta tener en cuenta que
ω = ω + J ♯ (ω)
2
+ ω − J ♯ (ω)
.
2
Estos dos subespacios son estables para la diferencial, luego podemos verlos
como complejos inversos, y es claro entonces que H(S) = H+(S) ⊕ H−(S),
donde
H+(S) ={α ∈ H(S) | J(α) =α}, H−(S) ={α ∈ H(S) | J(α) =−α}.
Ejemplo Vamos a calcular H k +(S n )yH k −(S n ). Obviamente son todos nulos
excepto los correspondientes a k =0,n. En cada caso, uno de los dos será nulo
y el otro tendrá dimensión 1. Sólo hemos de decidir cuál es cuál. Para k =0
es obvio: la aplicación antípoda J deja invariantes a las funciones constantes,
luego H 0 +(S n )=R y H 0 −(S n )=0.
Para k = n sabemos que el elemento de medida dm es un n-cociclo con
integral no nula y por lo tanto no es una cofrontera. Por consiguiente la clase