Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.3. La métrica de una variedad 211
Demostración: Basta observar que
1 si i = r, j = s
(dxi ⊗ dxj)(vr,vs) =
0 en caso contrario.
De aquí se sigue que F y el miembro derecho de la igualdad actúan igual sobre
todos los pares de vectores básicos. La unicidad es clara.
Por ejemplo, en estos términos el producto escalar en R n viene dado por
dx1 ⊗ dx1 + ···+ dxn ⊗ dxn.
Definición 5.17 Un campo tensorial (dos veces covariante) en una variedad
S ⊂ R m es una aplicación que a cada p ∈ S le hace corresponder una forma
bilineal en Tp(S). El tensor métrico de S es el campo g que a cada punto p le
asigna la restricción a Tp(S) del producto escalar en R m .
Si llamamos T (S) al conjunto de los campos tensoriales en S según la definición
anterior, es claro que se trata de un espacio vectorial con las operaciones
definidas puntualmente. Más aún, podemos definir el producto de una función
f : S −→ R por un campo F ∈ T (S) como el campo fF ∈ T (S) dado por
(fF)(p) =f(p)F (p).
Sea X : U −→ S una carta de S. Representaremos por x1,...,xn las
funciones coordenadas respecto a X. Si x ∈ U y p = X(x), sabemos que
D1X(x),...,DnX(x) es una base de Tp(S) ydx1(p),...,dxn(p) es su base dual.
Por consiguiente, todo w ∈ Tp(S) se expresa como
luego
w = dx1(p)(w)D1X(x(p)) + ···+ dxn(p)(w)DnX(x(p)).
Así pues, si w1, w2 ∈ Tp(S), su producto escalar es
gp =
gp(w1,w2) =
n
DiX(x(p))DjX(x(p))dxi(p)(w1)dxj(p)(w2),
i,j=1
n
gij(p)dxi(p) ⊗ dxj(p), con gij(p) =DiX(x(p))DjX(x(p)),
i,j=1
o, más brevemente, como igualdad de campos:
g =
n
gijdxi ⊗ dxj, (5.2)
i,j=1
Esta expresión recibe el nombre de expresión en coordenadas del tensor
métrico de S en la carta X. Las funciones gij se llaman coeficientes del tensor
métrico en la carta dada. Claramente son funciones diferenciables. Notemos
que la expresión coordenada no está definida en toda la variedad S, sino sólo
sobre los puntos del rango V de la carta X.