Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.4. La diferencial de una función 117
expresa que cuando la variable x experimenta un incremento infinitesimal dx,
la función x2 experimenta un incremento infinitesimal de 2xdx. Con rigor, dx2 no es un incremento infinitesimal, sino la función que a cada incremento ∆x
le asigna una aproximación al incremento correspondiente de x2 ,demodoque
lo que propiamente tenemos es la aproximación que resulta de evaluar dx en
incrementos concretos, es decir, ∆x(x2 ) ≈ 2x∆x. El error de esta aproximación
se puede hacer arbitrariamente pequeño tomando ∆x suficientemente pequeño.
Por ejemplo, (1,1) 2 ≈ 12 + dx2 (1)(0,1)=1+2· 0, 1=1,2. En realidad
(1,1) 2 =1,21, luego el error cometido es de una centésima.
Dada la igualdad df = f ′ dx, representaremos también la derivada de f
mediante la notación
f ′ (x) = df
dx ,
que expresa que f ′ (x) es la proporción entre las funciones df y dx, o también que
f ′ (x) es la razón entre un incremento infinitesimal de f respecto al incremento
infinitesimal de x que lo ocasiona.
Es costumbre, especialmente en física, nombrar las funciones, no por la expresión
que las determina, sino por la magnitud que determinan. Por ejemplo,
supongamos que la posición e de un objeto depende del tiempo viene dada por
la relación e(t) =t2 Entonces la velocidad del móvil es
v(t) = de
dt =2t,
lo que nos permite expresar t en función de v, mediante t(v) =v/2. A su vez,
esto nos permite calcular la posición en función de la velocidad, mediante la
función e(v) =v2 /4.
De este modo, llamamos e tanto a la función e(t) como a la función e(v),
que son funciones distintas. La letra v representa a una función en v =2t ya
una variable en t = v/2. Estos convenios no provocan ninguna ambigüedad, al
contrario, en muchos casos resultan más claros y permiten expresar los resultados
de forma más elegante. Por ejemplo, si tenemos dos funciones y = y(x)
y z = z(y), entonces la función compuesta se expresa, en estos términos, como
z = z(x). Si las funciones son derivables en sus dominios, la regla de la cadena
se convierte en
dz dz
=
dx dy
dy
dx .
La primera derivada es la de la función compuesta z(x), mientras que la
segunda es la de z(y). No es necesario indicar que dicha derivada ha de calcularse
en y(x), pues esto ya está implícito en el hecho de que se trata de una función
de y (no de x). Por ejemplo,
como cabía esperar.
de de dv v
= = · 2=v =2t,
dt dv dt 2