Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

252 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
tienen solución en ɛ>0, k para todos los valores de ρ0, θ0, ρ ′ 0, ω0, pero sustituyendo
L = mρ2 0ω0 estas ecuaciones equivalen a
ɛ cos(θ0 + k), sen(θ0 + k) 3 ρ
=
0ω2 0
GM − 1, ρ′ 0ρ2 0ω2
0
,
GM
que obviamente tienen solución. Con esto hemos probado que las trayectorias
de los objetos sometidos a la atracción de una masa fija puntual son rectas o
secciones cónicas.
Ejemplo Sea S una variedad diferenciable, sea p ∈ S y w ∈ Tp(S) un vector
unitario. Sea X una carta alrededor de p, p = X(x0) yw = dX(x ′ 0). Entonces
existe una única curva x(t) que verifica las ecuaciones (5.10) del capítulo anterior
con las condiciones iniciales x(0) = x0, x ′ (0) = x ′ 0. La curva g(t) =X x(t)
es una geodésica de S parametrizada por el arco tal que g(0) = p y g ′ (0) = w.
Recíprocamente, la representación en la carta de cualquier geodésica que cumpla
esto ha de ser solución de las ecuaciones (5.10), luego g es única (salvo cambio
de parámetro). En resumen:
En una variedad, por cada punto pasa una única geodésica en cada
dirección.
Por ejemplo, en el capítulo anterior probamos que los círculos máximos son
geodésicas de la esfera. Puesto que por cada punto y en cada dirección pasa un
círculo máximo, concluimos que los círculos máximos son las únicas geodésicas
de la esfera.
*Ejemplo En el capítulo anterior demostramos que las rectas elípticas e hiperbólicas
son geodésicas de los planos elíptico e hiperbólico. Puesto que por
cada punto y en cada dirección pasa una única recta, ahora podemos concluir
que las rectas son las únicas geodésicas.