Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

78 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Como regla mnemotécnica y de cálculo podemos usar:
v ∧ w =
e1
a1
e2
a2
e3
a3
.
b1 b2 b3
Hemos de probar que esta definición no depende de la elección de la base,
siempre que sea positiva. Aunque con rigor el determinante anterior no tiene
sentido (pues tiene vectores en su primera fila), sí hay una relación sencilla
entre el producto vectorial y los determinantes que es útil para deducir sus
propiedades. Si x es un vector de coordenadas (x1,x2,x3), entonces
x1 x2 x3
(x, u, v) =x(v ∧ w) = a1 a2 a3
,
b1 b2 b3
donde este determinante sí tiene sentido. El escalar (x, u, v) se llama producto
mixto de los vectores x, u, v, y es claro que no depende de la base ortonormal
positivamente orientada que se escoja para calcularlo. Teniendo esto en cuenta
es fácil probar hechos como que v ∧ w = −w ∧ v. En efecto, para todo x se
cumple evidentemente x(v ∧ w) =−x(w ∧ v), y esto sólo es posible si se da la
relación indicada. Del mismo modo se prueban las relaciones
v ∧ (w + x) =v ∧ w + v ∧ x, αv ∧ w =(αv) ∧ w = v ∧ (αw), α ∈ R.
Además v ∧ w = 0 si y sólo si v y w son linealmente dependientes. En
efecto, si son dependientes x(v ∧ w) = 0 para todo x, luego v ∧ w =0. Si
son independientes entonces existe un x independiente de ambos, de modo que
x(v ∧ w) = 0, luego v ∧ w = 0.
Si v y w son linealmente independientes, entonces v∧w es un vector ortogonal
a ambos. En efecto, v(v ∧ w) =w(v ∧ w) = 0. Más aún, en general se cumple
v ∧ w = vw sen vw.
Para probarlo basta comprobar la identidad
v ∧ w 2 +(vw) 2 = v 2 w 2 ,
que junto con vw = vw cos vw nos lleva a la relación indicada.
Por último observamos que si v y w son linealmente independientes entonces
la base (v, w, v ∧ w) es positiva, pues el determinante de la matriz de cambio de
base respecto a e1,e2,e3 es
a1
2
2
2
a3
+
+
> 0.
b2 b3
a3 a1
b3 b1
a1 a2
b1 b1
Estas propiedades muestran que v ∧ w es independiente de la base respecto
a la cual lo calculamos. Sea cual sea esta base, el producto vectorial resulta ser