Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Capítulo II
Compacidad, conexión y
completitud
Finalmente tenemos los suficientes elementos de topología como para que
ésta se convierta en una herramienta eficaz. En los temas anteriores apenas hemos
extraído las consecuencias más elementales de las definiciones de topología,
continuidad, etc. Los resultados que veremos ahora van mucho más lejos y dan
una primera muestra de las posibilidades de las técnicas topológicas.
2.1 Espacios compactos
La compacidad es en topología una propiedad similar a la “dimensión finita”
en álgebra lineal. Los espacios compactos no son necesariamente finitos, pero se
comportan en muchos aspectos como si lo fueran. Por ejemplo, es obvio que en
un espacio finito toda sucesión ha de tomar infinitas veces un mismo valor, luego
toda sucesión contiene una subsucesión constante, en particular convergente. Lo
mismo ocurre en R, como se desprende del teorema siguiente.
Teorema 2.1 Toda sucesión en un conjunto totalmente ordenado contiene una
subsucesión monótona.
Demostración: Sea {an} ∞ n=0 una sucesión en un conjunto totalmente ordenado.
Sea A el conjunto de las imágenes de la sucesión. Si A es finito es obvio
que A tiene una subsucesión constante, luego monótona. Supongamos que A es
infinito.
Si todo subconjunto no vacío de A tiene mínimo podemos tomar x0 igual al
mínimo de A, luego x1 igual al mínimo de A \{x0}, luego x2 igual al mínimo
de A \{x0,x1}, y así obtenemos puntos x0