Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.7. La función exponencial 129
y cambiando x por 1/x llegamos a que
lím
x→0 +
Esto implica que la función h : R −→ R dada por
e−1/x =0, n =0, 1, 2,... (3.5)
xn h(x) =
e −1/x si x>0
0 si x ≤ 0
es de clase C ∞ en R. En efecto, una simple inducción prueba que las derivadas
de h para x>0 son de la forma
e−1/x P (x),
xn donde P (x) es un polinomio. De aquí que las derivadas sucesivas de h en 0
existen y valen todas 0. En efecto, admitiendo que existe h k) (0) = 0 (para
k ≥ 0) la derivada h k+1) (0) se obtiene por un límite cuando ∆x → 0 que por la
izquierda es claramente 0 y por la derecha es de la forma
lím
∆x→0 +
e−1/∆x P (∆x),
∆xn de modo que el primer factor tiende a0por(3.5) y el segundo está acotado en
un entorno de 0. Por lo tanto existe h k+1) (0) = 0.
En particular, la función h(x 2 ) es de clase C ∞ , sus derivadas son todas nulas
en 0 pero es no nula en todo punto distinto de 0. Tenemos así un ejemplo de
función de clase C ∞ cuya serie de Taylor en 0 sólo converge (a ella) en 0.
La función h del ejemplo anterior permite construir una familia de funciones
que nos serán de gran utilidad más adelante:
Teorema 3.32 Dados números reales 0 ≤ a 0 si x ∈ ]a, b[ y f(x) =0en caso contrario.
Demostración: En efecto, la función h1(x) =h(x − a) se anula sólo en
los puntos x ≤ a y la función h2(b − x) se anula sólo en los puntos x ≥ b. Su
producto se anula sólo en los puntos exteriores al intervalo x ∈ ]a, b[.
Definición 3.33 Llamaremos función logarítmica a la inversa de la función
exponencial, log : ]0, +∞[ −→ R.
He aquí las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica.