Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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54 Capítulo 1. Topología Recíprocamente, todo número cuya expresión decimal sea de esta forma es un número racional. Veámoslo con un ejemplo. r =37, 195 ⌢ 513. Vamos a encontrar una fracción igual a r. El método es general. Multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el período más el anteperíodo: (100.000)r =3.719.513, ⌢ 513 . Le restamos r multiplicado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el anteperíodo: (1.000.000)r − (1.000)r =3.719.513+0, ⌢ 513 −3.719 − 0, ⌢ 513= 3.715.794. Por consiguiente r = 3.715.794 999.000 . Un problema que surge a menudo es el de determinar si una serie dada an es o no convergente. Lo más elemental que puede decirse al respecto es que para que una serie converja su término general ha de tender a 0. En efecto: Teorema 1.87 Sea {an} ∞ n=0 una sucesión en K. Si la serie ∞ an es conver- n=0 gente, entonces lím an =0. n Demostración: Sea Sk = k an. Que la serie converja a un número n=0 L significa por definición que existe lím Sk = L. En tal caso también existe k lím Sk−1 = L, pues es el límite de una subsucesión, y entonces k lím k ak =lím k (Sk − Sk−1) =L − L =0. Así, si no sumamos cada vez cantidades más pequeñas la serie no puede converger. El recíproco es tentador, pero falso. Basta considerar la serie determinada por la más sencilla de las sucesiones que tienden a 0: Ejemplo La serie ∞ 1 n es divergente. n=1 En efecto, observemos que S1 = 1, S2 = 1+ 1 2 , S4 = S2 + 1 1 + 3 4 >S2 + 2 4 =1+1 1 + 2 2 , S8 = S4 + 1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 >S4 + 4 1 1 > 1+1 + + 8 2 2 2 .
1.8. Sucesiones y series numéricas 55 n En general S2n > 1+ 2 , y esta sucesión tiende a +∞, luego las sumas parciales no están acotadas y la serie diverge. Se conocen muchos criterios para determinar el carácter convergente o divergente de una serie. Por ejemplo, el siguiente es aplicable a series de términos positivos. Teorema 1.88 (Criterio de D’Alembert) Sea {an} ∞ n=0 una sucesión de nú- an+1 meros reales positivos tal que exista lím = L ∈ R. Entonces: an n a) Si L1 la serie {an} ∞ n=0 es divergente. Demostración: a) Sea ɛ>0 tal que L+ɛ
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