Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.8. Las funciones trigonométricas 137
La unicidad se debe a que si |z|e iθ1 = |z|e iθ2 , entonces e i(θ1−θ2) = 1, luego
cos(θ1 − θ2) = 1 y sen(θ1 − θ2) = 0, ahora bien, cos x =1ysenx =0sólo ocurre
en x = 0 en el intervalo [0, 2π[, luego sólo ocurre en los números reales de la
forma 2kπ, con k ∈ Z. Así pues θ1 − θ2 =2kπ, y si ambos están en el intervalo
[a, a +2π[, ha de ser θ1 = θ2.
Un argumento de un número complejo z = 0 es un número real θ tal que
z = |z|e iθ . Hemos probado que cada número complejo no nulo tiene un único
argumento en cada intervalo [a, a +2π[. En particular en el intervalo [0, 2π[.
Recordemos que para conseguir que la derivada
del seno fuera el coseno hemos tenido que fijar una
medida de ángulos concreta. El ángulo de medida 1
respecto a esta unidad, es decir, el ángulo que forman
los vectores (1, 0) y (cos 1, sen 1), recibe el nombre de
radián 1 La figura muestra un radián.
Las funciones seno y coseno nos permiten mostrar
algunos ejemplos de interés sobre derivabilidad.
Ejemplo La función f : R −→ R dada por
2 1 x sen
f(x) =
x
0
si x = 0
si x =0
es derivable en R. Elúnico punto donde esto no es evidente es x = 0, pero
f ′ (0) = lím
h→0 h sen 1
h =0.
Para probar esto observamos en general que el producto de una función
acotada por otra que tiende a 0 tiende a 0 (basta aplicar la definición de límite).
Sin embargo la derivada no es continua, pues en puntos distintos de 0 vale
f ′ (x) =2xsen 1 1
− cos
x x ,
yesfácil ver que el primer sumando tiende a0en0(como antes), mientras que
el segundo no tiene límite, luego no existe lím
x→0 f ′ (x).
Los mismos cálculos que acabamos de realizar prueban una limitación de la
regla de L’Hôpital. Consideremos la función g(x) =x. Entonces
f(x)
lím
x→0 g(x) =0,
1 El nombre se debe a que, según probaremos en el capítulo siguiente, si un arco de circunferencia
mide un radián, entonces su longitud es igual al radio. Sería más adecuado llamarlo
ángulo “radiante”.