Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 435
luego el último término de (12.2) tiende a 0 cuando r tiende a +∞. Puesto
que la expresión es constante (es la suma de los residuos de R(z)), también ha
de existir el límite la integral sobre [−r, r]. Teniendo en cuenta que R(x) sólo
puede cambiar de signo un número finito de veces, el teorema de la convergencia
monótona puede aplicarse para justificar que R(x) es integrable en R. Al tomar
límites en (12.2) se obtiene la igualdad del enunciado.
Ejemplo Vamos a calcular
+∞
dx
.
1+x4 −∞
Si llamamos ζ = eiπ/4 , las raíces del denominador son ζ, ζ3 , ζ5 , ζ7 , de las
cuales tienen parte imaginaria positiva
√ √
2 2
ζ = + i y ζ
2 2
3 √ √
2 2
= − + i
2 2 .
Tenemos que R(z) =(z− ζ) −1g(z), donde g(ζ) = 0, luego ζ es un polo
simple (de orden 1) del integrando R. El argumento que sigue es una técnica
general para calcular residuos de polos simples. Ha de ser
Res(R, ζ)
R(z) = + h(z),
z − ζ
para cierta función h holomorfa alrededor de ζ. Por consiguiente
yasí el residuo puede calcularse como
En nuestro caso
Res(R, ζ) = lím
z→ζ
(z − ζ)R(z) = Res(R, ζ)+(z − ζ)h(z)
Res(R, ζ) =lím
z→ζ (z − ζ)R(z).
1
(z − ζ 3 )(z − ζ 5 )(z − ζ 7 ) =
1
=
ζ3 ζ5
=
(1 − i)(1 + 1)(1 + i) 4 ,
y del mismo modo llegamos a
Por consiguiente
+∞
Res(R, ζ 3 )=
−∞
1
(ζ − ζ 3 )(ζ − ζ 5 )(ζ − ζ 7 )
1
(ζ3 − ζ)(ζ3 − ζ5 )(ζ3 − ζ7 ζ7
=
) 4 .
dx
1+x4 =2πi ζ5 + ζ7 =2πi
4
−√2i 4 = π √ .
2