Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

36 Capítulo 1. Topología
Teorema 1.70 Sean X, Y espacios topológicos y f : X −→ Y . Sea a ∈ X ′ .
Entonces f es continua en a si y sólo si existe lím f(x) =f(a).
x→a
Demostración: Si el límite vale f(a), entonces la definición de límite se
cumple trivialmente cuando x = a y lo que queda es la definición de continuidad
en a. Recíprocamente, la definición de continuidad de f en a implica
trivialmente la definición de límite con b = f(a).
Mediante este teorema podemos deducir las propiedades algebraicas de los
límites a partir de las propiedades correspondientes de las funciones continuas.
Teorema 1.71 Sean f, g : A ⊂ X −→ K dos funciones definidas sobre un
espacio topológico X yseaa∈A ′ . Si existen
lím f(x) y lím
x→a x→a g(x)
entonces también existen
lím f(x)+g(x) = lím f(x)+ lím g(x),
x→a
x→a x→a
lím f(x)g(x) = lím
x→a x→a f(x)
lím
x→a g(x)
,
f(x)
lím
x→a g(x) =
lím
x→a f(x)
,
lím g(x)
x→a
(suponiendo, además, en el tercer caso que lím g(x) = 0.)
x→a
Demostración: La prueba es la misma en todos los casos. Veamos la
primera. Consideramos la función f ′ que coincide con f en todos los puntos
salvo en a, donde toma el valor del límite. Definimos igualmente g ′ . Entonces
el teorema anterior implica que f ′ y g ′ son continuas en a, luego f ′ + g ′ también
lo es, luego por el teorema anterior existe
′ ′
lím f(x)+g(x) = f (a)+g (a),
x→a
pero como f ′ + g ′ coincide con f + g salvo en a, ellímite de f ′ + g ′ coincide con
el de f + g, y tenemos la relación buscada.
Es claro que el resultado sobre suma de límites es válido cuando las funciones
toman valores en cualquier espacio vectorial topológico. Además en tal caso al
multiplicar una función por un escalar el límite se multiplica por el mismo (para
el caso de K esto es un caso particular de la segunda igualdad). La misma técnica
nos da inmediatamente:
Teorema 1.72 Sea f : A ⊂ X −→ X1 ×···×Xn una aplicación entre espacios
topológicos, que será de la forma f(x) = f1(x1),...,fn(x) , para ciertas funciones
fi : X −→ Xi. Seaa∈A ′ . Entonces existe lím f(x) si y sólo si existen
x→a
todos los límites lím
x→a fi(x) y en tal caso
lím f(x) =
x→a
lím
x→a f1(x),..., lím
x→a fn(x)
.