Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 185
Las dos últimas igualdades suponen que la imagen de x está enR 3 . En el
lenguaje geométrico hemos obtenido las fórmulas siguientes:
T = x′
x ′ , N = x′ 2x ′′ − (x ′ x ′′ )x ′
x ′ x ′ ∧ x ′′ , κ =
x′ ∧ x ′′
x ′ 3 .
(4.4)
En el caso de curvas planas es conveniente modificar como sigue el vector
normal y la curvatura. Fijada una orientación en el plano, definimos el vector
normal de una curva x(s) parametrizada por el arco como el vector unitario N(s)
que es perpendicular a T (s) y de modo que la base T (s),N(s) esté orientada
positivamente. Esta definición puede diferir de la anterior en cuanto al signo
de N(s), por lo que redefinimos la curvatura de modo que x ′′ (s) =κ(s)N(s).
Notemos que ahora el vector normal está definido incluso en los puntos donde
la curvatura es nula.
Con el convenio usual de orientación, el vector N apunta hacia la izquierda si
miramos en el sentido de T . La curvatura es positiva si cuando la curva avanza
se desvía hacia la izquierda y negativa si se desvía hacia la derecha (o nula si no
se desvía). Diremos que la curva gira en sentido positivo o en sentido negativo
según el signo de su curvatura. El sentido de giro positivo es el contrario a las
agujas del reloj. De este modo, la orientación distingue los dos sentidos de giro.
Vector binormal y torsión La teoría de curvas en R 3 se completa con la
introducción del vector binormal y la torsión. El vector binormal de una curva
x(s) tres veces derivable en un punto de curvatura no nula es B(s) =T (s)∧N(s).
La base formada por los vectores T (s),N(s),B(s) se conoce como triedro de
Frenet. Definimos la torsión de x en cada punto como τ(s) =−N ′ (s)B(s).
Para interpretar la torsión empezaremos por determinar N ′ . Digamos que
N ′ = aT + bN + cB. (4.5)
Multiplicando por T obtenemos c = N ′ T , y como TN = 0, derivando resulta
T ′ N + TN ′ = 0, luego c = −T ′ N = −κNN = −κ.
Si multiplicamos (4.5) por N resulta b = N ′ N, pero al derivar en NN =1
resulta 2NN ′ = 0, luego b = 0. Por último, es claro que c = N ′ B = −τ. Por
consiguiente
N ′ = −κT − τB.
La misma técnica nos da una expresión para B ′ . Sea B ′ = aT + bN + cB.
Multiplicando por T obtenemos a = TB ′ , pero de BT = 0 se concluye que
TB ′ = −T ′ B = −κNB = 0. Similarmente b = NB ′ = −N ′ B = τ. Al
multiplicar por B llegamos a c = B ′ B = 0, pues BB =1.
Tenemos así las llamadas fórmulas de Frenet:
T ′ = κN,
N ′ = −κT − τB,
B ′ = τN.