Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 427
Ahora notamos que |γ ′ (t)| dt es el elemento de longitud (no orientada) de
γ, es decir, la medida de Lebesgue. Si convenimos en representarlo por |dz| la
desigualdad anterior se escribe mejor de este modo:
f(z) dz
≤
|f(z)||dz|.
γ
Si γ es una carta que cubre casi todos los puntos de una 1-variedad C, entonces la
última integral es simplemente la integral de f respecto a la medida de Lebesgue
en C.
Una consecuencia es que si {fn} ∞ n=1 es una sucesión de funciones continuas
que convergen uniformemente en el rango de un arco γ a una función f, entonces
f(z) dz =lím fn(z) dz.
n
γ
En efecto, dado ɛ > 0 existe un natural n0 tal que si n ≥ n0 entonces
|fn(z) − fn0 (z)| 0yn ∈ Z entonces
(ζ − z0) n
0
dζ =
2πi
si n = −1
si n = −1
|ζ−z0|=r
En efecto, se entiende que la integral se calcula sobre la circunferencia de
centro z0 y radio r con la orientación usual (en sentido antihorario), de modo
que una carta positiva es ζ = z0 + re it , para t ∈ [0, 2π], luego
|ζ−z0|=r
1
dζ =
ζ − z0
γ
γ
2π
0
ireit dt =2πi.
reit