Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 167
luego
∂z
∂xi
= ∂z ∂y1
+ ···+
∂y1 ∂xi
∂z
∂ym
∂ym
.
∂xi
Ésta es la forma explícita de la regla de la cadena.
En otros términos, si tenemos dz expresado como combinación lineal de
dy1,...,dym y cada dyi como combinación lineal de dx1,...,dxn, es decir,
dz =(dy1,...,dyn)∇z(y1,...,ym) t ,
(dy1,...,dyn) =(dx1,...,dxn)Jy(x1,...,xn),
entonces, para expresar a dz como combinación lineal de dx1,...,dxn basta
sustituir el segundo grupo de ecuaciones en la primera, pues así obtenemos
(dx1,...,dxn)Jy(x1,...,xn)∇z(y1,...,ym) t =(dx1,...,dxn)∇z t (x1,...,xn),
es decir, dz(x1,...,xn).
Ejemplo Consideremos las funciones z = x 2 + y 2 , x = ρ cos θ, y = ρ sen θ.
Suponemos ρ>0, con lo que (x, y) = (0, 0) y todas las funciones son diferenciables
(ver el teorema 4.11, más abajo). Claramente
Entonces
dz =
ρ cos θ
ρ
dz =
x
y
dx +
x2 + y2 x2 + y2 dy,
dx = cos θdρ− ρ sen θdθ,
dy = sen θdρ+ ρ cos θdθ.
cos θdρ− ρ sen θdθ + ρ sen θ
ρ
sen θdρ+ ρ cos θdθ = dρ,
que es el mismo resultado que se obtiene si diferenciamos directamente la función
compuesta z(ρ, θ) =ρ.
Es importante comprender que el paso del primer grupo de ecuaciones a la
expresión de dz en función de ρ y θ no es una mera manipulación algebraica,
sino que se fundamenta en la regla de la cadena. En este caso particular, lo que
dice la regla de la cadena es:
Si llamamos z(ρ, θ) a la función que resulta de sustituir x e y en
z(x, y) por sus valores en función de ρ y θ, entonces la diferencial
de esta función es la que resulta de sustituir x, y, dx, dy en dz(x, y)
por sus valores en función de ρ, θ, dρ, dθ, respectivamente.
Y esto no es evidente en absoluto.
El teorema siguiente es el único criterio de diferenciabilidad que necesitaremos
en la práctica: