Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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276 Capítulo 7. Teoría de la medida Falta probar que µ representa a T . Dada f ∈ Cc(X), basta probar que T (f) ≤ fdµ, pues aplicando esto mismo a −f obtenemos la desigualdad opuesta. Sea K el soporte de f. Entonces f[X] ⊂ f[K] ∪{0} es compacto, f[X] ⊂ [a, b], para ciertos números reales a y b. Sea ɛ>0 y tomemos números X y0
7.4. El teorema de Riesz 277 X Demostración: Definamos el operador T : Cc(X) −→ R dado por T (f) = fdµ. Notemos que si f tiene soporte K y M es una cota de f en K entonces |T (f)| ≤ |f| dµ ≤ Mµ(K) < +∞, X luego T está bien definido y claramente cumple las hipótesis del teorema de Riesz. Por lo tanto existe una medida de Borel regular ν tal que para toda función f ∈ Cc(X) se cumple fdν= f dµ. X Basta probar que µ = ν. SiVes un abierto, por hipótesis lo podemos expresar como unión de compactos {Kn} ∞ n=1. Tomemos funciones Kn ≺ fn ≺ V y sea gn =máx{f1,...,fn}. Entonces gn ∈ Cc(X) y es claro que la sucesión {gn} ∞ n=1 es monótona creciente y converge puntualmente a χV . Por el teorema de la convergencia monótona resulta que ν(V )=lím n gn dν =lím n gn dµ = µ(V ). X Así pues, µ y ν coinciden en los abiertos. Dado un conjunto de Borel B, cortándolo con una familia creciente de compactos cuya unión sea X podemos expresarlo como unión creciente de conjuntos de Borel de medida finita para µ y ν, luego basta probar que ambas medidas coinciden sobre los conjuntos de Borel de medida finita. Por la regularidad de ν es fácil ver que existen un abierto V y un compacto K tales que K ⊂ B ⊂ V y ν(V \ K) 0. Terminamos la sección con un teorema importante sobre aproximación de funciones medibles por funciones continuas. Teorema 7.30 (Teorema de Lusin) Sea µ una medida de Borel regular en un espacio localmente compacto X y f : X −→ R una función medible tal que f =0salvo en un conjunto de medida finita. Dado ɛ>0 existe una función g ∈ Cc(X) tal que f = g salvo en un conjunto de medida menor que ɛ. Además podemos exigir que X X sup |g(x)| ≤sup |f(x)|. x∈X x∈X Demostración: Sea A = {x ∈ X | f(x) = 0}. Supongamos primero que A es compacto y que 0 ≤ f ≤ 1. Sea {sn} ∞ n=1 la sucesión monótona
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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