Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

282 Capítulo 7. Teoría de la medida
Demostración: a) Es claro que el conjunto de los trasladados x + B de los
conjuntos de Borel forma una σ-álgebra que contiene a los abiertos, luego contiene
a todos los conjuntos de Borel. Razonando igualmente con −x concluimos
que los trasladados de los conjuntos de Borel son exactamente los conjuntos de
Borel. Si definimos µ(B) =m(x + B) tenemos claramente una medida de Borel
yesfácil ver que a cada celda le asigna su volumen. Por consiguiente se trata
de la medida de Lebesgue, es decir, tenemos que m(x + B) =m(B) para todo
conjunto de Borel B. Teniendo en cuenta la definición de la compleción es fácil
extender este hecho a todo conjunto medible.
b) Supongamos primero que f es biyectiva. Puesto que también es continua,
el mismo razonamiento que en el caso de las traslaciones implica que cuando B
recorre los conjuntos de Borel de R n , lo mismo sucede con f[B], así como que
µ(B) =m f[B] define una medida de Borel regular. La linealidad de f yel
apartado anterior implican que µ es invariante por traslaciones. Sea C un cubo
cualquiera de lado 1 y sea c = µ(C). Si C ′ es un cubo de lado 2 −k , entonces C
se expresa como unión disjunta de 2 nk trasladados de C ′ , todos con la misma
medida µ(C ′ ), luego µ(C ′ )=c2 −nk = cm(C ′ ). Como todo abierto V es unión
numerable de cubos disjuntos de lado 2 −k , concluimos que µ(V )=cm(V ), y
por regularidad lo mismo vale para todo conjunto de Borel B, es decir,
m f[B] = cm(B).
A partir de la definición de compleción se concluye que esta relación es cierta
para todo conjunto medible Lebesgue.
Si f no es biyectiva entonces su imagen es un subespacio propio de Rn .
Basta probar que los subespacios propios de Rn tienen medida nula, con lo que
la relación anterior será cierta con c = 0. A través de un automorfismo, todo
subespacio propio se transforma en un subespacio de V = {x ∈ Rn | x1 =0}.
Por la parte ya probada basta ver que V es nulo. Ahora bien, V es unión
numerable de cubos degenerados de la forma {0}×[−k, k] ×···×[−k, k], luego
basta ver que estos cubos son nulos, pero cada uno de ellos es intersección
numerable de cubos [−1/r, 1/r] × [−k, k] ×···×[−k, k], cuya medida tiende a 0.
Falta probar que la constante c es exactamente |∆|. Si f no es biyectiva
es evidente, pues hemos visto que c = 0. En caso contrario sabemos que c es
la medida de la imagen por f de un cubo cualquiera de lado 1, por ejemplo
C =[0, 1[ n .
Es conocido que todo automorfismo de Rn se descompone en producto de
automorfismos que sobre la base canónica {e1,...,en} actúan de una de las tres
formas siguientes:
1) f(e1),...,f(en) es una permutación de (e1,...,en),
2) f(e1) =αe1, f(ei) =ei, para i =2,...,n,
3) f(e1) =e1 + e2, f(ei) =ei, para i =2,...,n.
Teniendo en cuenta además que el determinante de la composición de dos
automorfismos es el producto de sus determinantes, es claro que basta probar
el teorema cuando f es de uno de estos tipos.