Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

174 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
tiene por matriz de coeficientes a la matriz jacobiana de la transformación,
luego podemos despejar dx1,...,dxn en función de dy1,...,dyn yasí obtenemos
precisamente la diferencial de la función inversa.
Ejemplo Como ya advertíamos, al contrario de lo que sucede en una variable,
el hecho de que una aplicación tenga diferencial no nula en todo punto (o incluso
determinante jacobiano no nulo) no garantiza que sea biyectiva. Por ejemplo,
consideremos f(x, y) =(excos y, ex sen y) (vista como aplicación de C en C, se
trata simplemente de la exponencial compleja). La matriz jacobiana de f es
x e cos y x e sen y
−ex sen y ex
cos y
y su determinante en cada punto (x, y) ese x = 0. Por otro lado es fácil ver que
f no es biyectiva.
Lo máximo que podemos deducir del hecho de que el determinante jacobiano
no se anule es que la función es localmente inyectiva. La prueba se basa en un
argumento que hemos usado en la prueba del teorema de la función inversa.
Teorema 4.19 (Teorema de inyectividad local) Sea f : A ⊂ R n −→ R n
una función de clase C 1 en el abierto A yseaa ∈ A tal que |Jf(a)| = 0.
Entonces existe un entorno B de a tal que |Jf(x)| =0para todo x ∈ B y f es
inyectiva sobre B.
Demostración: La función h : An −→ R dada por
h(z 1 ,...,z n )= (Dkfj(z j ))
es continua, pues las derivadas parciales son continuas y el determinante es un
polinomio. Por hipótesis tenemos que h(a,...,a) = 0, luego existe un entorno
de (a,...,a) en el cual h no se anula. Este entorno lo podemos tomar de la
forma Bδ(a) ×···×Bδ(a). Tomaremos B = Bδ(a).
Veamos que si x, y ∈ Bδ(a) yf(x) =f(y) entonces x = y. Consideremos la
función φ(t) =fi(x + t(y − x)), definida en [0, 1]. Claramente es derivable. Por
el teorema del valor medio,
fi(y) − fi(x) =dφ(ti)(1) = dfi(x + ti(y − x))(y − x) =dfi(z i )(y − x),
donde z i es un punto entre x e y, luego z i ∈ Bδ(a). Por lo tanto
fi(y) − fi(x) =
n
Dkfi(z i )(yk − xk),
k=1
lo que matricialmente se expresa como
0=f(y) − f(x) =(y − x)(Dkfi(z i )).
La matriz tiene determinante h(z1 ,...,zn ) = 0, luego ha de ser x = y.
Para terminar generalizamos a varias variables un hecho que tenemos probado
para el caso de una: