Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.6. La curvatura de Gauss 223
Para el caso del toro tenemos r(u),z(u) =(R+r cos v, r sen v) luego queda
e = r, f =0, g = R cos u + r cos 2 u.
Ejercicio: Comprobar que la curvatura normal en todo punto de la esfera de radio
r y en toda dirección es igual a ±1/r, donde el signo es positivo si elegimos el vector
normal que apunta hacia dentro de la esfera y negativo en caso contrario.
5.6 La curvatura de Gauss
Es un hecho conocido que si F es una forma bilineal simétrica en un espacio
euclídeo existe una base ortonormal en la que la matriz de F es diagonal.
Podemos aplicar esto a un plano tangente Tp(S) de una superficie tomando el
producto escalar determinado por la primera forma fundamental y como F la
segunda forma fundamental. Entonces concluimos que existe una base (e1,e2)
de Tp(S) en la cual las expresión en coordenadas de las formas fundamentales
es
F 1 (x, y) =x 2 + y 2 y F 2 (x, y) =λ1x 2 + λ2y 2 .
Los números λ1 y λ2 son los valores propios de cualquiera de las matrices
de F 2 en cualquier base ortonormal de Tp(S), luego están unívocamente determinados
salvo por el hecho de que un cambio de carta puede cambiar sus
signos. Podemos suponer λ1 ≤ λ2. Entonces se llaman respectivamente curvatura
mínima y curvatura máxima de S en p. En efecto, se trata del menor y el
mayor valor que toma F 2 entre los vectores de norma 1, pues
λ1 = λ1(x 2 + y 2 ) ≤ λ1x 2 + λ2y 2 = F 2 (x, y) ≤ λ2(x 2 + y 2 )=λ2.
Si w ∈ Tp(S) tiene norma arbitraria entonces aplicamos esto a w/w y
concluimos que
λ1 ≤ F 2 (w)
F 1 ≤ λ2,
(w)
es decir, λ1 ≤ κn ≤ λ2. Asípues, λ1 y λ2 son la menor y la mayor curvatura
normal que alcanzan las curvas que pasan por p. Además se alcanzan en direcciones
perpendiculares e1 y e2, llamadas direcciones principales en p. Notemos
que puede ocurrir λ1 = λ2, en cuyo caso la curvatura normal es la misma en
todas direcciones y no hay direcciones principales distinguidas. Los puntos de
S donde λ1 = λ2 se llaman puntos umbilicales.
Veamos ahora cómo calcular las direcciones principales en una carta. Consideremos
la fórmula de Meusnier como función (diferenciable) de dos variables.
Si (du, dv) marca una dirección principal7 entonces κn es máximo o mínimo
7 Aquí podemos considerar (du, dv) ∈ R 2 . La notación diferencial está motivada por lo
siguiente: Fijada una carta con coordenadas u, v, una curva regular en la superficie viene
determinada por una representación coordenada (u(t),v(t)). El vector tangente a la curva en
un punto dado marcará una dirección principal si y sólo si la fórmula de Meusnier evaluada
en (u ′ (t),v ′ (t)) toma un valor máximo o mínimo, pero dicha fórmula depende sólo de las
diferenciales (du(t),dv(t)), por lo que en realidad buscamos una relación entre du y dv.