Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.8. Las funciones trigonométricas 135
La primera fórmula implica que si x ∈ R entonces −1 ≤ sen x, cos x ≤ 1. De
la última se sigue que para todo x, y ∈ R se cumple
e x+iy = e x (cos y + i sen y),
con lo que tenemos descrita la exponencial compleja en términos de la exponencial
real y de las funciones seno y coseno reales.
El hecho de que sen ′ 0 = cos 0 = 1 equivale a
sen x
lím
x→0 x =1,
que es otra propiedad del seno que conviene recordar.
Vamos a probar ahora la periodicidad de las funciones trigonométricas reales.
El punto más delicado es demostrar que cos x se anula en algún x = 0. Para ello
probaremos que el coseno es menor o igual que los cuatro primeros términos de
su serie de Taylor:
cos x ≤ 1 − x2
2
+ x4
24 .
Esto equivale a probar que 1 − x 2 /2+x 4 /24 − cos x ≥ 0 para x ≥ 0. Puesto
que esta función vale 0 en 0, basta probar que su derivada es positiva. Dicha
derivada es sen x−x+x 3 /6. Esta función vale también 0 en 0, luego para probar
que es positiva (para x ≥ 0) basta ver que su derivada lo es. Dicha derivada es
cos x − 1+x 2 /2. Por el mismo argumento derivamos una vez más y obtenemos
x − sen x. Al derivar una vez más llegamos a 1 − cos x, que sabemos que es
positiva.
Vemos que la gráfica del polinomio de Taylor de 4
grado 4 en 0 de cos x toma valores negativos. De
hecho un simple cálculo nos da que en 3
2
1
-1 1 2 3 4
-1
√ 3 toma el
valor −1/8, luego cos √ 3 ≤−1/8. Como cos 0 = 1,
por continuidad existe un punto 0 0 | cos x =0}. El conjunto A es la
antiimagen de {0} por la aplicación coseno restringida
a[0, +∞[. Como {0} es cerrado y cos es continua, A
es un cerrado. El ínfimo de un conjunto está ensu
clausura, luego F =ínf A ∈ A yasícos F = 0. Es obvio que F ≥ 0, y como
cos 0 = 0,hadeser0