Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

148 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
si sustituimos G(t(x)) = F (x(t(x))) + c = F (x)+c, obtenemos una primitiva de
la función original. A esta técnica se la llama integración por sustitución. La
versión con límites es:
t(b)
t(a)
o sea:
u(x(t)) x ′ (t) dt = F (x(t(b))) − F (x(t(a))) = F (b) − F (a) =
b
a
u(x) dx =
t(b)
t(a)
u(x(t)) x ′ (t) dt.
b
a
u(x) dx,
Ejemplo Vamos a calcular √ 1 − x2 dx. El integrando está definido en el
intervalo ]−1, 1[. Consideramos la función x = sen t, definida y biyectiva en
]0,π[. Entonces dx = cos tdty se cumple
1 1
− x2 dx = − sen2 t cos tdt= cos 2
1 + cos 2t
tdt=
dt
2
= 1
2
dt + 1
4
2 cos 2tdt= t 1
t 1
+ sen 2t + c = + sen t cos t + c
2 4 2 2
= arcsen x
2
+ x√ 1 − x 2
2
En general, si la primitiva de una función en un intervalo ]a, b[ se extiende
continuamente al intervalo [a, b], dicha extensión es obviamente única, por lo
que podemos calcular la integral desde a hasta b, que se interpreta como el
incremento completo de la primitiva. Así, en el ejemplo anterior tenemos
1
−1
1 − x 2 dx = π
2 .
+ c.
3.10 Apéndice: La trascendencia de e y π
Para acabar el capítulo probaremos que las constantes e y π que nos han
aparecido son números trascendentes (sobre Q). Supondremos al lector familiarizado
con la teoría de números algebraicos. Aunque es muy sencillo probar que
casi todos los números reales son trascendentes, pues el conjunto de números
algebraicos es numerable y R no lo es. No es fácil, en cambio, probar la trascendencia
de un número particular. Hermite fue el primero en demostrar la
trascendencia de e y Lindemann probó después la de π. Aquí veremos unas
pruebas más sencillas, pero hay que señalar que la prueba de Lindemann se generaliza
a un teorema más potente, en virtud del cual los valores que toman las
funciones sen x, cos x, e x , log x, etc. sobre números algebraicos son—salvo los
casos triviales— números trascendentes. Por ello a estas funciones se les llama
también funciones trascendentes.