Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

374 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Ejemplo Consideremos el campo F : Rn+1 −→ Rn+1 dado por
F (x) = x
r ,
para un r>0. Sobre los puntos de la esfera de centro 0 y radio r coincide con
el vector normal unitario de la misma, luego Fn =1. Asípues, el teorema de
la divergencia nos da que el área de la esfera vale
n +1
dσ = Fndσ = div Fdm= dm =(n +1)vn+1r
S S
B
B r
n = σnr n ,
donde B es la bola de centro 0 y radio r y vn+1 es el volumen de la bola unitaria
de dimensión n + 1. Obtenemos de nuevo la relación σn =(n +1)vn+1, que ya
habíamos obtenido en el capítulo anterior.
10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes
El rotacional en hidrodinámica El teorema clásico de Stokes nos da una
interpretación importante del rotacional en hidrodinámica. Supongamos que
V es el campo de velocidades de un fluido tal y como considerábamos en el
capítulo anterior. Supongamos que en su seno situamos una pequeña rueda que
pueda girar en torno a un eje fijo. Formalmente, sea S un disco cerrado de
centro p y radio r (contenido en el dominio de V , o sea, en R3 , con cualquier
inclinación). Sea C la circunferencia que lo bordea y sea n un vector unitario
normal al mismo.
Dado ɛ>0, existe un entorno U de p tal que |(rot V )(p)n − (rot V )(x)n|