Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

13.4. La ecuación de ondas 461
Para que una solución u dada por (13.15) satisfaga las condiciones iniciales
ha de cumplir
De la segunda ecuación deducimos
f1(x)+f2(x) = φ(x)
vf ′ 1(x) − vf ′ 2(x) = ψ(x)
f1(x) − f2(x) = 1
v
x
x0
ψ(s) ds + C,
y ahora resolviendo el sistema lineal de incógnitas f1(x) yf2(x) obtenemos
f1(x) = 1 1
φ(x)+
2 2v
f2(x) = 1 1
φ(x) −
2 2v
Entonces (13.15) se convierte en
u(x, t) =
φ(x + vt)+φ(x − vt)
2
x
x0
x
x0
+ 1
2v
ψ(s) ds + C
2
ψ(s) ds − C
2
x+vt
x−vt
ψ(s) ds. (13.16)
Esta fórmula indica que el valor u(x, t) es el promedio de los valores que
tomaba u para t = 0 en los puntos x±vt más el promedio de la velocidad inicial
en el intervalo [x − vt, x + vt] multiplicado por t. Recíprocamente, la situación
inicial en un punto x0 afecta en cada instante t a los puntos que distan de x0
un máximo de vt. Asípues, la constante v es la velocidad con que se expande
el radio de influencia del estado inicial de cada punto sobre el estado de u.
La figura muestra los valores de u para
tiempos distintos a partir del estado inicial
determinado por una función φ en forma de
cresta (la gráfica más alta) y velocidades nulas
(ψ = 0). Vemos cómo la cresta se va
achatando por el centro hasta dividirse en
dos crestas menores, una que se mueve hacia
la izquierda y otra hacia la derecha, ambas
con velocidad v. Desde el punto de vista de una posición fija alejada de la perturbación
inicial, la función u comienza siendo nula, en un momento dado (tras
el tiempo necesario para que el frente de onda llegue al punto) u comienza a
crecer hasta llegar a un valor máximo y luego vuelve a decrecer hasta hacerse
nula de nuevo. De existir una velocidad inicial ψ, digamos de soporte compacto
y con integral no nula, su efecto sobre los puntos alejados es permanente, en el
sentido de que para tiempos t suficientemente grandes u terminará tomando el
valor de dicha integral.