Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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272 Capítulo 7. Teoría de la medida Teorema 7.28 (Teorema de representación de Riesz) Sea X un espacio localmente compacto y sea T : Cc(X) −→ R una aplicación lineal tal que si f ≥ 0 entonces T (f) ≥ 0. Entonces existe una única medida de Borel casi regular µ en X tal que para toda función f ∈ Cc(X) se cumple T (f) = fdµ. Demostración: Veamos primero la unicidad. Es claro que una medida casi regular está completamente determinada por los valores que toma sobre los conjuntos compactos, luego basta probar que si µ1 y µ2 representan a T en el sentido del teorema entonces µ1(K) =µ2(K) para todo compacto K. Por la regularidad existe un abierto V tal que K ⊂ V y µ2(V )
7.4. El teorema de Riesz 273 Probamos primero que si V1 y V2 son abiertos µ(V1 ∪ V2) ≤ µ(V1)+µ(V2). Tomemos g ≺ V1 ∪ V2 arbitraria. Por el teorema 7.27 existen funciones h1 y h2 tales que hi ≺ Vi y h1 + h2 vale 1 sobre los puntos del soporte de g. Por lo tanto hig ≺ Vi, g = h1g + h2g. T (g) =T (h1g)+T (h2g) ≤ µ(V1)+µ(V2). Como esto se cumple para toda g ≺ V1 + V2, concluimos la desigualdad buscada. Podemos suponer que µ(Ei) < +∞ para todo i, o la desigualdad que queremos probar se cumpliría trivialmente. Dado ɛ > 0 la definición de µ implica que existen abiertos Vi que contienen a Ei de modo que µ(Vi)
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Índice General Introducción ix Ca
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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