Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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98 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud Teorema 2.62 (Teorema de Baire) En un espacio métrico completo, los conjuntos de primera categoría tienen interior vacío. Demostración: Consideremos un conjunto C de primera categoría. Entonces C = An ⊂ An = C ′ , n donde los conjuntos An son diseminados, luego sus clausuras son cerrados de interior vacío, luego C ′ tiene interior vacío (por la versión que ya hemos probado del teorema de Baire) y C también. Así pues, si probamos que un conjunto C es “pequeño”, en el sentido de que es de primera categoría, el teorema de Baire nos da que todo abierto va a contener puntos que no están en C. Éste es esencialmente el interés del teorema de Baire. Terminaremos con una aplicación del teorema de Baire, que no es de las más típicas, pero tal vez la más sencilla: Ejemplo Q no puede expresarse como una intersección numerable de abiertos de R. En efecto, en tal caso sería una intersección numerable de abiertos densos, luego R\Q sería una unión numerable de cerrados de interior vacío, al igual que R = Q ∪ (R \ Q). El teorema de Baire nos daría entonces que R tiene interior vacío (en sí mismo), lo cual es absurdo. Los conjuntos que pueden expresarse como intersección numerable de abiertos se llaman conjuntos Gδ. El ejemplo anterior, junto con el teorema siguiente, muestra que no puede existir una función f : R −→ R continua en los puntos Q y discontinua en los de R \ Q. (Si el lector cree que esto es evidente, debería pensar en el ejercicio que sigue al teorema.) Teorema 2.63 Sea M un espacio métrico completo. El conjunto de puntos de continuidad de toda función f : M −→ R es un Gδ. Demostración: Para cada natural no nulo n definimos Gn = {x ∈ M | existe δ>0 tal que sup f(y) − ínf f(y) < 1/n}. y∈Bδ(x) y∈Bδ(x) Claramente los conjuntos Gn son abiertos. Basta probar que el conjunto de puntos de continuidad de f es G = ∞ Gn. n=1 Si f es continua en x, dado un n>0 existe un δ>0 tal que si y ∈ Bδ(x) entonces |f(x) − f(y)| < 1/(4n). Por lo tanto, si y, y ′ ∈ Bδ(x) se cumple que |f(y)−f(y ′ )| < 1/(2n) y, tomando el supremo en y yelínfimo en y ′ , concluimos que x ∈ Gn. n
2.7. Apéndice: El teorema de Baire 99 Recíprocamente, supongamos que x ∈ G. Dado ɛ>0 tomamos n tal que 1/n 0 tal que Entonces si y ∈ Bδ(x) se tiene que luego f es continua en x. sup f(y) − ínf f(y) < 1/n. y∈Bδ(x) y∈Bδ(x) |f(x) − f(y)| ≤ sup f(y) − ínf f(y) < 1/n 0, 0 en caso contrario. Demostrar que lím f(x) = 0 para todo x0 ∈ R. Deducir que f es continua en R \ Q x→x0 y discontinua en Q.
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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