Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.3. La integral de Lebesgue 267
b) Si α, β ∈ R, yf, g son integrables, entonces αf + βg es integrable y
(αf + βg) dµ = α fdµ+ β g dµ.
X
c) Si f ≤ g y ambas son integrables, entonces
fdµ≤ X X gdµ.
d) Si E es un subconjunto medible de X y f es integrable en X, entonces f
es integrable en E y
fdµ= E X fχE dµ.
e) Si E y F son subconjuntos medibles disjuntos de X, entonces la función
f es integrable en E ∪ F siysólo si lo es en E yenF y, en tal caso,
fdµ= fdµ+ fdµ.
E∪F
f) Si E es un subconjunto medible de X y f|E =0, entonces
E fdµ=0.
g) Si E es un subconjunto nulo de X, entonces
E fdµ=0.
h) Si f es integrable en X, entonces el conjunto de los puntos donde f toma
los valores ±∞ es nulo.
(La propiedad e sale de aplicar el teorema 7.17 a las partes positiva y negativa
de f.)
Algunas consecuencias: por d) vemos que
1 dµ = E X χE dµ = µ(E). Por
a) tenemos que si |f| ≤g y g es integrable entonces f también lo es. Toda
función medible y acotada sobre un conjunto de medida finita es integrable.
Otra observación de interés es la siguiente: si pasamos de una medida a su
compleción, es claro que las funciones simples para la primera lo son también
para la segunda y las integrales coinciden. El teorema de la convergencia monótona
implica entonces que toda función positiva integrable para una medida
sigue siéndolo para su compleción, y de aquí se sigue inmediatamente el resultado
para funciones arbitrarias. De este modo la integral respecto a la compleción
extiende a la integral respecto a la medida de partida.
Veamos ahora un teorema de convergencia válido para funciones medibles
arbitrarias.
Teorema 7.21 (de la convergencia dominada de Lebesgue) Sea X un
espacio medida y sean {fn} ∞ n=1 funciones medibles de X en [−∞, +∞] que
convergen puntualmente a una función f. Si existe una función integrable
g : X −→ [−∞, +∞] tal que |fn| ≤g para todo n, entonces f es integrable
y
fdµ=lím
n
fn dµ.
X
Se dice que las funciones fn están dominadas por g.
E
X
X
F
X