Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.2. Espacios conexos 75
f [H]
ο
f [H]
0,250
f [H]
0,500
f [H]
0,125 f [H]
0,375
f [H]
0,750
f [H]
0,625
f [H]
1
f [H]
0,875
Ahora probamos que esta propiedad distingue a los movimientos de las semejanzas.
Teorema 2.26 Si E es un espacio afín euclídeo y f :[0, 1] × E −→ E es una
aplicación continua tal que para todo t ∈ [0, 1], la aplicación ft(x) =f(t, x) es
una isometría y f0 =1, entonces todas las aplicaciones ft son movimientos.
Demostración: Fijado un sistema de referencia afín en E, la aplicación
h : E −→ R n que a cada punto le asigna sus coordenadas es un homeomorfismo.
La aplicación g : [0, 1] × R n −→ R n dada por g(t, X) = h(f(t, h −1 (X)) es
continua, y es de la forma g(t, X) =Pt + XAt, donde Pt ∈ R n y At es una
matriz n × n de determinante ±1.
La aplicación g ′ (t, X) =g(t, X)−g(t, 0) = XAt también es continua. Si ei es
el vector i-ésimo de la base canónica, la aplicación gij(t) =g ′ (t, ei)ej es continua,
y gij(t) es simplemente el coeficiente (i, j) de la matriz At. El determinante de
una matriz depende polinómicamente de sus coeficientes, por lo que la función
det ft = det At es continua.
Ahora bien, si alguna ft fuera una simetría, det f0 = det I = 1, mientras que
det ft = det At = −1. Tendrámos, pues, una aplicación continua y suprayectiva
del espacio conexo [0, 1] en el espacio disconexo {−1, 1}, lo cual es imposible.
Los mismos argumentos sirven para interpretar otros grupos de afinidades.
Por ejemplo:
Teorema 2.27 Si f es una biyección afín de determinante positivo en un espacio
afín E existe una aplicación continua f :[0, 1] × E −→ E tal que para todo
t ∈ [0, 1], la aplicación ft(x) =f(t, x) es una biyección afín, f0 =1y f1 = f.
Demostración: Probaremos primero el teorema para automorfismos de
determinante positivo del espacio vectorial asociado E. Cada uno de estos
automorfismos se puede expresar como composición de una homotecia lineal
de determinante positivo y un automorfismo de determinante 1. A su vez,
estos automorfismos se descomponen en producto de transvecciones, es decir,