Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

464 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo
Para derivar respecto de r podemos hacer primero t =0,yasí
∂rM(u)
(x, vt, 0) =
∂r
∂
1
u(y, 0) dσ(y)
∂r 4πr
y−x=r
= ∂rM(φ)
(x, vt) =
∂r
∂
tM(φ)(x, vt) .
∂t
Por otra parte,
∂rM(u)
1
(x, vt, 0) =
∂t
4πr
1
=
4πr
y−x=r
ψ(y) dσ(y)
(x,vt)
y−x=r
(x,vt)
(x,vt,0)
∂u
(y, t) dσ(y)
∂t
= rM(ψ) (x, vt) =vtM(ψ)(x, vt).
En total
u(x, t) = ∂
tM(φ)(x, vt) + tM(ψ)(x, vt). (13.18)
∂t
Explícitamente:
u(x, t) = ∂
1
∂t 4πv2
φ(y) dσ(y) +
t y−x=vt
1
4πv2
ψ(y) dσ(y).
t y−x=vt
Esto justifica la unicidad de la solución. Para probar la existencia hemos de
ver que, para cualquier par de funciones φ de clase C 3 y ψ de clase C 2 , la función
dada por (13.18) satisface la ecuación de ondas con las condiciones iniciales φ y
ψ. Comencemos por éstas:
u(x, 0) = M(φ)(x, 0) +
∂u
(x, 0) =
∂t
+
2 ∂
∂t
t ∂
t=0
M(φ)(x, vt) +0=φ(x).
∂t
∂2
M(φ)(x, vt)+t M(φ)(x, vt)
∂t2
M(ψ)(x, vt)+t ∂
M(ψ)(x, vt)
∂t
(x,0)
Hemos usado (13.17) para probar que
∂
M(φ)(x, vt) = v
∂t ∂M(φ)
(x, 0) = 0.
∂r
(x,0)
(x,0)
= ψ(x).
La suma de dos soluciones de la ecuación de ondas es también una solución,
luego basta probar que los dos términos de (13.18) satisfacen la ecuación de
ondas. Más aún, la derivada respecto de t de una solución es también solución,