Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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164 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables omás claramente: dx = cos θdρ− ρ sen θdθ, dy = sen θdρ+ ρ cos θdθ. También podríamos haber calculado dx y dy de forma independiente. 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables Vamos a estudiar las funciones diferenciables. Entre otras cosas obtendremos un criterio sencillo que justificará la diferenciabilidad de la mayoría de funciones de interés. Comenzamos observando que en funciones de una variable la diferenciabilidad equivale a la derivabilidad. Teorema 4.7 Sea f : A ⊂ R −→ R m una función definida en un abierto A y sea a ∈ A. Entonces f es diferenciable en a siysólo si existe la derivada de f en a. Además en tal caso df (a)(h) =f ′ (a)h. Demostración: Si f es derivable en a entonces existe f ′ f(a + h) − f(a) (a) = lím = k, h→0 h luego f(a + h) − f(a) − kh lím =0, h→0 h y si multiplicamos por la función acotada h/|h| el límite sigue siendo 0, es decir, tenemos f(a + h) − f(a) − kh lím =0, h→0 |h| lo que indica que f es diferenciable y que df (a)(h) =f ′ (a)h. El recíproco se prueba igualmente, partiendo de que df (a)(h) =kh se llega a que existe f ′ (a) =k. Teorema 4.8 Si f : A ⊂ R n −→ R m es diferenciable en un punto a, entonces f es continua en a. Demostración: Tenemos que f(a + v) − f(a) − df (a)(v) lím =0. v→0 v Multiplicamos por v, que también tiende a 0, con lo que lím f(a + v) − f(a) − df (a)(v) =0. v→0
4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 165 La aplicación df (a) es lineal, luego es continua, luego tiende a 0, luego y esto equivale a luego f es continua en a. lím f(a + v) − f(a) =0, v→0 lím f(x) =f(a), x→a Las propiedades algebraicas de la derivabilidad de funciones son válidas también para la diferenciabilidad: Teorema 4.9 Sean f y g funciones diferenciables en un punto a. Entonces a) f + g es diferenciable en a y d(f + g)(a) =df (a)+dg(a). b) Si α ∈ R entonces αf es diferenciable en a y d(αf)(a) =αdf(a). c) fg es diferenciable en a y d(fg)(a) =g(a)df (a)+f(a)dg(a). d) si g(a) = 0entonces f/g es diferenciable en a y d(f/g)(a) = g(a)df (a) − f(a)dg(a) g2 . (a) Demostración: Veamos por ejemplo la propiedad c). Llamemos E(v) = f(a + v) − f(a) − df (a)(v) , F(v) = v g(a + v) − g(a) − dg(a)(v) . v Ambas funciones están definidas en un entorno de 0 y tienden a 0. Además f(a + v) − f(a) =df (a)(v)+vE(v), g(a + v) − g(a) =dg(a)(v)+vF (v). Entonces (fg)(a + v) − (fg)(a) =f(a + v)g(a + v) − f(a)g(a + v)+f(a)g(a + v) − f(a)g(a) = f(a + v) − f(a) g(a + v)+f(a) g(a + v) − g(a) . Sustituimos f(a + v) − f(a), g(a + v) yg(a + v) − g(a) usando las igualdades anteriores. Al operar queda (fg)(a + v) − (fg)(a) − g(a)df (a)+f(a)dg(a) = df (a)(v)dg(a)(v) +v df (a)(v)F (v)+E(v)g(a)+E(v)dg(a)(v)+f(a)F (v) + v 2 E(v)F (v). Hay que probar que el miembro derecho dividido entre v tiende a 0. El único término para el que esto no es inmediato es df (a)(v)dg(a)(v) , v
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