Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.6. Límites de funciones 37
Para calcular el límite que tenemos pendiente necesitamos un hecho que
a menudo resulta útil. Diremos que una función f con valores en un espacio
métrico está acotada si su imagen es un conjunto acotado.
Teorema 1.73 Sean f, g : A ⊂ X −→ E dos funciones definidas de un espacio
topológico X en un espacio normado E yseaa∈A ′ . Si existe lím f(x) =0y
x→a
g está acotada, entonces existe lím f(x)g(x) =0.
x→a
Demostración: Si g está acotada, existe un M>0 tal que g(x) ≤M
para todo x ∈ A. Entonces f(x)g(x) ≤Mf(x). El hecho de que f tienda
a 0, sustituyendo los entornos en E de la definición general por bolas abiertas,
queda así:
Para todo ɛ>0 existe un entorno U de a tal que si x ∈ U ∩ A y x = a,
entonces f(x) 0 y aplicamos este hecho a ɛ/M, con lo que si x ∈ U ∩ A
y x = a, tenemos que f(x)g(x) ≤Mf(x)