Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

240 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Se entiende que derivada de y que aparece en el problema de Cauchy es
respecto de la variable t. Teóricamente deberíamos usar la notación de derivadas
parciales, pero es costumbre usar la notación del análisis de una variable para
evitar que el problema parezca una ecuación diferencial en derivadas parciales,
cuando en realidad no lo es.
Demostración: Sea h0 en las condiciones indicadas, sea I =[t−h0,t+h0],
sea D = n
[y
i=1
0 i −bi,y0 i +bi] y sea M = C(I ×K, D), que es un espacio de Banach
con la norma supremo. Definimos el operador T : M −→ M mediante
T (y)(t, µ) =y 0 +
t
t0
f t, y(t, µ),µ dt.
Hemos de probar que T (y)(t, µ) ∈ D y que T (y) es una aplicación continua.
En primer lugar,
T (y)i(t, µ) − y 0
i =
t
fi(t, y, µ) dt
t0
≤
t
t
|fi(t, y, µ)| dt
≤ M
dt
t0
t0
= M|t − t0| ≤Mh0 ≤ bi.
Esto prueba que T (y)(t, µ) ∈ D. La continuidad es consecuencia de un
cálculo rutinario:
t1
t2
T (y)(t1,µ1) − T (y)(t2,µ2)∞ =máx
i fi(t, y, µ1) dt − fi(t, y, µ2) dt
≤ máx
i
t1
t1
≤ máx fi(t, y, µ1) dt − fi(t, y, µ2) dt
i
t0
t0
+
t1
t2
fi(t, y, µ2) dt − fi(t, y, µ2) dt
t1
t0
≤ máx
i
t0
fi(t, y, µ1) − fi(t, y, µ2)
dt
+
t1
t0
t0
t0
t1
t2
t0
fi(t, y, µ2) dt
fi(t, y, µ1) − fi(t, y, µ2)
dt
+ M|t1 − t2|.
Sea ɛ > 0. La función fi(t, y(t, µ),µ) es uniformemente continua en el
compacto I × K, luego existe un δ > 0 tal que si d(µ1,µ2) < δ, entonces
|fi(t, y, µ1) − fi(t, y, µ2)|