Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Introducción
En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el análisis
matemático o cálculo infinitesimal, una potentísima herramienta que revolucionó
el tratamiento matemático de la física y la geometría, y que más tarde impregnaría
las más diversas ramas de la matemática, como la estadística o la teoría
de números.
Esencialmente, el cálculo infinitesimal consistía por una parte en analizar
o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento
de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constituía el
cálculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para
obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideración (el
llamado cálculo integral).
Es difícil que un lector que no tenga ya algunas nociones de cálculo pueda
entender cabalmente el párrafo anterior, pero las nuevas ideas eran aún más
difíciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto
que se publicó con el fin de explicarlas sistemáticamente fue el “Análisis” del
marqués de l’Hôpital. Veamos algunos pasajes:
La parte infinitamente pequeña en que una cantidad variable es aumentada
o disminuida de manera continua, se llama la diferencial
de esta cantidad.
Siguiendo la notación leibniziana, L’Hôpital explica que la letra d se usa para
representar uno de estos incrementos infinitamente pequeños de una magnitud,
de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc.
En ningún momento se precisa qué debemos entender por un aumento infinitamente
pequeño de una cantidad, pero en compensación se presentan varias
reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo:
Postúlese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infinitamente
pequeña pueden intercambiarse una por la otra;o bien (lo
que es lo mismo) que una cantidad que está incrementada o disminuida
solamente en una cantidad infinitamente menor, puede considerarse
que permanece constante.
Así, por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta
un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos
d(xy) =(x + dx)(y + dy) − xy = xdy+ ydx+ dxdy = xdy+ y dx,
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