Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.7. Apéndice: Algunas fórmulas vectoriales 395
Calculamos div A aplicando (10.9), (10.11) y el hecho de que el rotacional
de un gradiente es nulo. El resultado es
∇(a1h2h3)(∇u2 ∧∇u3)+∇(a2h1h3)(∇u3 ∧∇u1)+∇(a3h1h2)(∇u1 ∧∇u2).
Ahora aplicamos (10.13) teniendo en cuenta que un producto mixto con dos
vectores iguales es nulo. Obtenemos
∂a1h2h3
div A =
+
∂u1
∂a2h1h3
+
∂u2
∂a3h1h2
(∇u1, ∇u2, ∇u3).
∂u3
Finalmente observamos que (v1,v2,v3) = 1, lo que juntamente con (10.12)
nos da
1 ∂a1h2h3
div A =
+
h1h2h3 ∂u1
∂a2h1h3
+
∂u2
∂a3h1h2
.
∂u3
Para calcular el rotacional de A partimos de (10.14) y aplicamos (10.10)
junto con el hecho de que el rotacional de un gradiente es nulo. Así pues,
rot A = ∇(a1h1) ∧∇u1 + ∇(a2h2) ∧∇u2 + ∇(a3h3) ∧∇u3.
Aplicamos (10.13) junto con el hecho de que el rotacional de un gradiente es
nulo.
rot A = ∂a1h1
∂u2
= ∂a2h2
∂u1
= ∂a3h3
∂u1
∇u2 ∧∇u1 + ∂a1h1
∂u3
∇u1 ∧∇u2 + ∂a2h2
∂u3
∇u1 ∧∇u3 + ∂a3h3
∂u2
∇u3 ∧∇u1
∇u3 ∧∇u2
∇u2 ∧∇u3.
Por último aplicamos (10.12) y agrupamos los coeficientes de cada vi. El
resultado se recuerda mejor mediante la regla mnemotécnica
h1v1 h2v2 h3v3
1
∂ ∂ ∂
rot A =
.
∂u1 ∂u2 ∂u3
h1h2h3
h1a1 h2a2 h3a3
Notemos que las fórmulas anteriores se reducen a las
usuales en el caso de las coordenadas cartesianas, para
las cuales h1 = h2 = h3 = 1. Existen varios sistemas de
coordenadas que ayudan con frecuencia en los cálculos
con vectores. Citaremos por ejemplo el caso de las coordenadas
esféricas, definidas sobre el abierto
S = {(x, y, z) ∈ R
x
3 | x 2 + y 2 =0}.
En un entorno de cada punto vienen dadas por
X(r, θ, φ) =(rsen θ cos φ, r sen θ sen φ, r cos θ).
Es fácil ver que constituyen un sistema de coordenadas ortogonales positivamente
orientado con hr =1,hθ = r y hφ = r cos θ.
z
φ
θ
r
y