Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

xii Introducción
desde el primer momento, de modo que —sin desmerecer la profundidad de la
teoría— su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto.
Su interpretación no será, naturalmente la de incrementos infinitesimales, sino
la de aproximaciones lineales, aceptables —al menos— en los alrededores de los
puntos. Esta interpretación los mantiene en todo momento muy cerca de los
hipotéticos infinitésimos en los que están inspirados.
Muchos libros de física continúan trabajando con razonamientos infinitesimales
al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar rápidamente y con fluidez
a resultados importantes a cambio de sacrificar el rigor lógico. Aquí adoptaremos
una posición intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, pero
no formalistas, daremos pruebas sin saltos lógicos, pero llegaremos a resultados
enunciados de tal modo que resulten “transparentes” en la práctica, emulando
así la fluidez de los razonamientos infinitesimales.
Hay un caso en que los razonamientos infinitesimales están plenamente justificados,
y es cuando se trata de motivar una definición. Por ejemplo, a partir
de la ley de gravitación de Newton para dos masas puntuales puede “deducirse”
que el campo gravitatorio generado por una distribución continua de masa contenida
en un volumen V con densidad ρ viene dado por
ρ(y)
E(x) =−G
(x − y) dy.
V x − y3 La deducción no puede considerarse una demostración matemática, pues
la fórmula anterior tiene el status lógico de una definición, luego es un sinsentido
tratar de demostrarla. En todo caso se podría complicar la definición
sustituyéndola por otra que mostrara claramente su conexión con las masas
puntuales y después probar que tal definición es equivalente a la anterior. La
prueba se basaría en la posibilidad de aproximar integrales por sumas finitas
y con toda seguridad sería bastante prolija. Esta opción sería absurda tanto
desde el punto de vista formal (¿para qué sustituir una definición sencilla por
otra complicada?) como desde el punto de vista físico (¿para qué entrar en
disquisiciones ɛ–δ que acabarán donde todos sabemos que tienen que acabar?).
En cambio, un argumento en términos de infinitésimos convence a cualquiera
de que esta definición es justamente la que tiene que ser. 1
Del mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatorio
determinado por una distribución de masa ρ debe ser
ρ(y)
V (x) =−G
V x − y dy.
Ahora bien, de aceptar ambos hechos tendríamos como consecuencia la relación
E = −∇V , pues el potencial de un campo de fuerzas es por definición
la función que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una definición, sino una
afirmación sobre dos funciones que podría ser falsa en principio y que, por consiguiente,
requiere una demostración. Muchos libros de física dan por sentado
1 A cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrará sentido, pero es que,
como alguien dijo, “un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca de
significado.”