Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.3. Propiedades de las funciones derivables 111
Demostración: Consideremos la función dada por
h(x) =f(x) g(b) − g(a) − g(x) f(b) − f(a) .
Se cumple que h(a) =h(b) =f(a)g(b) − g(a)f(b). Además h es continua en
[a, b] y derivable en ]a, b[. Por el teorema de Rolle existe un punto c ∈ ]a, b[ tal
que h ′ (c) = 0, pero h ′ (x) =f ′ (x) g(b) − g(a) − g ′ (x) f(b) − f(a) , luego
f ′ (c) g(b) − g(a) − g ′ (c) f(b) − f(a) =0
Más adelante tendremos ocasión de usar este resultado en toda su generalidad,
pero de momento nos basta con el caso particular que resulta de tomar
como función g la dada por g(x) =x. Entonces tenemos:
Teorema 3.13 (Teorema del valor medio) Sea f :[a, b] −→ R una función
continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces existe un c ∈ ]a, b[ tal que
f(b) − f(a) =f ′ (c)(b − a).
Notar que el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor
medio. Este teorema tiene una interpretación geométrica. La expresión
f(b) − f(a)
b − a
puede interpretarse como la “pendiente media” de f en [a, b], es decir, es el
cociente de lo que aumenta f cuando la variable x pasa de a a b dividido entre
lo que ha aumentado la variable. Lo que dice el teorema del valor medio es
que hay un punto en el intervalo donde la función toma el valor medio de su
pendiente.
La importancia de este teorema es que nos relaciona una magnitud global,
la pendiente media, con una magnitud local, la derivada en un punto. Las
consecuencias son muchas. Una aplicación típica es el siguiente refinamiento del
teorema 3.11:
Teorema 3.14 Si f :[a, b] −→ R es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ ysu
derivada es positiva (negativa) en ]a, b[, entonces f es estrictamente creciente
(decreciente) en [a, b].
Demostración: El teorema 3.11 nos da que f es estrictamente monótona
en ]a, b[. Sólo falta probar que es creciente o decreciente en a yenb.
Si x ∈ ]a, b[, entonces f(x)−f(a) =f ′ (c)(x−a), para cierto punto c ∈ ]a, x[.
Por lo tanto, si f ′ es positiva, f(x) − f(a) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, e igualmente
se prueba que f(b) − f(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, luego f es creciente en [a, b].