Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

366 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Si no suponemos que las formas son de clase C ∞ podemos definir igualmente
la diferencial de una forma de clase C k como una forma de clase C k−1 y todas
las propiedades del teorema anterior se cumplen igualmente con las restricciones
obvias. Por ejemplo, para d(dω)) = 0 hemos de exigir que ω sea al menos de
clase C 2 . Veamos algunos casos particulares de la diferencial exterior:
Definición 10.8 Sea F : U ⊂ R3 −→ R3 un campo de vectores definido sobre
un abierto U. Elrotacional de F es el campo rot F : U −→ R3 dado por
e1 e2 e3
∂ ∂ ∂ ∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
rot F =
∂x ∂y ∂z = − , − , − .
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
F1 F2 F3
Por supuesto que el determinante intermedio es sólo una regla mnemotécnica,
que también puede abreviarse como rot F = ∇∧F . La relación con la diferencial
exterior es la siguiente: según vimos en el capítulo anterior, al campo F le
podemos asociar la 1-forma Fdr = F1 dx + F2 dy + F3 dz. La diferencial de esta
forma es
∂F3 ∂F2
d(F dr) = dF1 ∧ dx + dF2 ∧ dy + dF3 ∧ dz = − dy ∧ dz
∂y ∂z
∂F1 ∂F3
∂F2 ∂F1
+ − dz ∧ dx + − dy ∧ dz
∂z ∂x
∂x ∂y
= dΦ(rot F )).
Es decir, la diferencial del elemento de circulación de F es el elemento de
flujo del rotacional de F .
Si f : U −→ R es un campo escalar, es claro que df = ∇f dr, luego
0=d 2 f = d(∇f dr) =dΦ(rot ∇f)),
de donde se sigue la relación
rot ∇f =0,
para todo campo escalar f.
Definición 10.9 Sea F : U ⊂ Rn −→ Rn un campo de clase C∞ en un abierto
U. Ladivergencia de F es el campo escalar div F : U −→ R dado por
Claramente
d(dΦ(F )) =
=
=
div F = ∂F1
∂x1
+ ···+ ∂Fn
.
∂xn
n
(−1) i+1 dFi ∧ dx1 ∧···∧dxi−1 ∧ dxi+1 ∧···∧dxn
i=1
n
i+1 ∂Fi
(−1) dxi ∧ dx1 ∧···∧dxi−1 ∧ dxi+1 ∧···∧dxn
∂xi
n ∂Fi
dx1 ∧···∧dxn = div F dm.
∂xi
i=1
i=1