Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.3. Sucesiones exactas 409
Supongamos por último que x ∈ N(ψ k+1 ). Entonces x = φ k+1 (y) para un
y ∈ C k+1 (A) y hay que probar que y ∈ Z k+1 (A). Ahora bien, φ k+2 ∂ k+1 (y) =
∂ k+1 φ k+1 (y) = ∂ k+1 (x) = 0 (pues x es un ciclo). Como φ k+2 es inyectiva
resulta que ∂ k+1 (y) = 0, luego y es un ciclo.
El homomorfismo δ ∗ recibe el nombre de homomorfismo de conexión de la
sucesión exacta dada. Conviene recordar cómo actúa: dado un cociclo de C,
tomamos cualquier antiimagen por ψ, calculamos la cofrontera de ésta, calculamos
su antiimagen por φ y la clase del cociclo resultante es la imagen por δ ∗ de
la clase del cociclo de partida.
Veamos un ejemplo importante de aplicación de este teorema:
Sea S una variedad diferenciable y U1, U2 dos abiertos en S de modo que
S = U1 ∪ U2, U1 ∩ U2 = ∅. Claramente, U1, U2, U1 ∩ U2 son variedades
diferenciables. Consideramos las inclusiones
j1 : U1 ∩ U2 −→ U1, j2 : U1 ∩ U2 −→ U2, i1 : U1 −→ M, i2 : U2 −→ M.
A partir de ellas construimos una sucesión de aplicaciones lineales
0 −→ Λ(S) α
−→ Λ(U1) ⊕ Λ(U2) β
−→ Λ(U1 ∩ U2) −→ 0. (11.2)
Definimos α(ω) = i ♯
1 (ω),i♯2
(ω) y β(ω1,ω2) =j ♯
1 (ω1) − j ♯
2 (ω2).
Representaremos las diferenciales de Λ(S), Λ(U1), Λ(U2) yΛ(U1∩U2) mediante
d, d1, d2 y d12 respectivamente. Es claro que Λ(U1) ⊕ Λ(U2) esun
complejo con el operador cofrontera dado por (d1 ⊕ d2)(ω1,ω2) =(d1ω1,d2ω2).
Las aplicaciones α y β son homomorfismos de complejos (es decir, conmutan
con las diferenciales), luego inducen aplicaciones lineales
α : H(S) −→ H(U1) ⊕ H(U2), β : H(U1) ⊕ H(U2) −→ H(U1 ∩ U2).
Veamos que la sucesión (11.2) es exacta, con lo que podremos aplicarle el
teorema 11.13. En primer lugar probamos que β es suprayectiva. Fijemos una
partición de la unidad p1, p2 en S subordinada al cubrimiento U1, U2, es decir,
p1 + p2 =1,p1 ≺ U1, p2 ≺ U2.
Tomemos ω ∈ Λ(U1 ∩ U2). La función i ♯
1 (p2) está definida en U1 y se anula
en un entorno de cada punto de U1 \ U2, luego la forma ω1 = i ♯
1 (p2) ω se
puede extender a U1 haciéndola nula en U1 \ U2. Similarmente tenemos ω2 =
i ♯
2 (p2) ω ∈ Λ(U2). Es inmediato comprobar que ω = β(ω1, −ω2).
La inyectividad de α es obvia: si α(ω) = 0 entonces ω se anula en U1 yen
U2, luego se anula en S.
Es claro que α ◦ β = 0, luego Im α ⊂ N β. Tomemos ahora (ω1,ω2) ∈ N β.
Entonces ω1(p) =ω2(p) para todo p ∈ U1 ∩ U2 y consecuentemente podemos
definir ω ∈ Λ(S) que extienda simultáneamente a ω1 yaω2, pero esto equivale
a decir que α(ω) =(ω1,ω2).