Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.2. Funciones medibles 259
Nos interesa extender este resultado a funciones u, v : X −→ [−∞, +∞],
pero entonces tenemos el problema de que no es posible extender la suma y el
producto de modo que sean continuas en los puntos (+∞, −∞), (−∞, +∞) en
el caso de la suma y en los puntos (±∞, 0), (0, ±∞) en el caso del producto.
Hacemos esto: definimos u + v de modo que +∞−∞= 0 (por ejemplo) y
ahora observamos lo siguiente:
Sea u : X −→ Y una función medible, A un subconjunto medible de
X e y ∈ Y . Entonces la función v : X −→ Y que coincide con u
fuera de A y toma el valor y en A es medible.
La razón es que
v −1 [B] =
u −1 [B] \ A si y/∈ B
u −1 [B] ∪ A si y ∈ B
Así, dadas u, v : X −→ [−∞, +∞] medibles tales que donde una vale +∞
la otra no vale −∞, las modificamos para que valgan 0 donde toman valores
infinitos, las sumamos y obtenemos una función medible, luego modificamos
la suma para que tome el valor ∞ adecuado donde deba tomar dichos valores
(claramente en un conjunto medible), con lo que obtenemos una función medible.
Igualmente con el producto.
Otra consecuencia del teorema sobre el producto cartesiano de funciones
medibles es que si tenemos dos funciones medibles u, v : X −→ [−∞, +∞], los
conjuntos del estilo de x ∈ X | u(x)