Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.3. Productos y subespacios 13
Bɛ(x1)×· · ·×Bɛ(xn), luego la base inducida por la métrica es base de la topología
producto.
La definición de topología producto es sin duda razonable para un número
finito de factores. Sin embargo cuando tenemos infinitos factores hemos exigido
una condición de finitud que no hemos justificado. En principio podríamos
considerar en
Xi la topología que tiene por base a los productos
i∈I
Gi con Gi
i∈I
abierto en Xi (sin ninguna restricción de finitud). Ciertamente estos conjuntos
son base de una topología a la que se le llama topología de cajas, y el teorema
siguiente muestra que no coincide con la topología producto que hemos definido.
La topología producto resulta ser mucho más útil que la topología de cajas.
Teorema 1.21 Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topológicos. Los únicos
abiertos en
Xi de la forma
Gi = ∅ son los abiertos básicos, es decir, los
i∈I
i∈I
que además cumplen que cada Gi es abierto y Gi = Xi para casi todo i.
Demostración: Supongamos que
Gi es un abierto no vacío. Con-
i∈I
sideremos un punto x ∈
Gi. Existirá un abierto básico
i∈I
Hi tal que
i∈I
x ∈
Hi ⊂
Gi, luego para cada índice i se cumplirá xi ∈ Hi ⊂ Gi, y como
i∈I
i∈I
casi todo Hi es igual a Xi, tenemos que Gi = Xi para casi todo i. Además tenemos
que Gi es un entorno de xi, pero dado cualquier elemento a ∈ Gi siempre
podemos formar un x ∈
Gi tal que xi = a, luego en realidad tenemos que Gi
i∈I
es un entorno de todos sus puntos, o sea, es abierto.
Nos ocupamos ahora de los subespacios de un espacio topológico. Es evidente
que todo subconjunto N de un espacio métrico M es también un espacio métrico
con la misma distancia restringida a N ×N. Por lo tanto tenemos una topología
en M y otra en N. Vamos a ver que podemos obtener la topología de N
directamente a partir de la de M, sin pasar por la métrica.
Teorema 1.22 Sea X un espacio topológico (con topología T) yA ⊂ X. Definimos
TA = {G ∩ A | G ∈ T}. Entonces TA es una topología en A llamada
topología relativa a X (o topología inducida por X) enA. En lo sucesivo sobreentenderemos
siempre que la topología de un subconjunto de un espacio X es
la topología relativa.
Demostración: A = X ∩ A ∈ TA, ∅ = ∅ ∩ A ∈ TA.
Sea C ⊂ TA. Para cada G ∈ C sea UG = {U ∈ T | U ∩ A = G} = ∅ y sea
VG la unión de todos los abiertos de UG.
De este modo VG es un abierto en X y VG ∩ A = G.
G =
VG ∩ A, y
VG ∈ T, luego G ∈ TA.
G∈C
G∈C
G∈C
Si U, V ∈ TA, U = U ′ ∩ A y V = V ′ ∩ A con U ′ , V ′ ∈ T. Entonces
U ∩ V = U ′ ∩ V ′ ∩ A ∈ TA, pues U ′ ∩ V ′ ∈ T. Así TA es una topología en A.