Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

13.3. Las ecuaciones de Maxwell 455
V y A en términos de la distribución de carga ρ y la densidad de corriente ı.
El primer paso es encontrar ecuaciones diferenciales que contengan una sola de
las incógnitas V y A. Para ello sustituimos la ecuación anterior en la primera
ecuación de Maxwell:
−∆V − ∂ ρ
div A = . (13.2)
∂t ɛ
Por otro lado, sustituyendo (13.1) y B = rot A en la cuarta ecuación de
Maxwell resulta
rot rot A = µı + µɛ −∇ ∂V
∂t − ∂2A ∂t2
.
Ahora usamos la definición de laplaciano vectorial:
∇ div A − ∆A = µı − µɛ∇ ∂V
∂t − µɛ∂2 A
∂t2 (13.3)
Las ecuaciones (13.2) y (13.3) se pueden simplificar notablemente si tenemos
en cuenta que A está determinado únicamente por su rotacional, y el teorema
11.21 nos permite elegir su divergencia. Una buena elección es
div A = −µɛ ∂V
. (13.4)
∂t
Esta ecuación se conoce como condición de Lorentz y tiene una interpretación
en la teoría de la relatividad. Sustituyéndola en las ecuaciones que hemos obtenido
resultan dos fórmulas simétricas:
∆V − µɛ ∂2V = −ρ
(13.5)
∂t2 ɛ
∆A − µɛ ∂2A = −µı (13.6)
∂t2 Estas ecuaciones determinan los potenciales V y A a partir de ρ e ı, yasu
vez los potenciales determinan los campos E y B a través de las ecuaciones
B = rot A, E = −∇V − ∂A
∂t .
Los campos E y B satisfacen ecuaciones similares a (13.5) y (13.6). Para
obtener la de E tomamos gradientes en la primera ecuación de Maxwell y aplicamos
la definición del laplaciano vectorial:
∆E + rot rot E = 1
ɛ ∇ρ.
Aplicamos la tercera ecuación y después la cuarta:
∆E − ∂ 1
rot B =
∂t ɛ ∇ρ,