Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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192 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables sustituir en la expresión anterior obtenemos el elemento de longitud hiperbólico en coordenadas polares hiperbólicas, que resulta ser ds 2 = dρ 2 + senh 2 ρdθ 2 , (4.6) relación análoga a (4.3). Por ejemplo, consideremos una circunferencia cuyo centro coincida con el del plano de Klein y de radio (hiperbólico) r. Entonces su longitud hiperbólica es 2π 0 senh rdθ=2π senh r. Observemos que si el radio es pequeño la longitud es aproximadamente la euclídea 2πr. La fórmula (4.6) es intrínseca, en el sentido de que las coordenadas (ρ, θ) de un punto P representan la distancia hiperbólica de P a un punto fijo O yel ángulo de la semirrecta −→ OP con una semirrecta fija de origen O, y nada de esto depende del plano de Klein. Por lo tanto la fórmula ha de ser válida también en el círculo de Poincaré. La relación entre la distancia euclídea r y la distancia hiperbólica ρ de un punto P al punto 0 en el círculo de Poincaré es ρ = log 1+r 1 − r , de donde senh ρ = 2r 2dr , dρ = . 1 − r2 1 − r2 Por consiguiente, el elemento de longitud en coordenadas polares (euclídeas) en el círculo de Poincaré resulta ser √ dr 2 + r 2 dθ 2 ds =2 1 − r2 . Según (4.3), el numerador es el elemento de longitud euclídea en coordenadas polares. Si usamos la notación compleja para el arco z(t) =x(t) +iy(t) y llamamos |dz| = dx2 + dy2 al elemento de longitud euclídea, entonces tenemos 2 |dz| ds = . 1 −|z| 2 Esta expresión diferencial muestra la naturaleza de la distancia hiperbólica mucho más claramente que la fórmula de la distancia entre dos puntos. Vemos que la distancia hiperbólica es infinitesimalmente la euclídea dividida entre el factor más simple posible que hace que se “dilate” al acercarnos al borde del círculo de radio 1, de modo que las pequeñas distancias euclídeas son cada vez más grandes desde el punto de vista hiperbólico. La expresión también es muy clara en el semiplano de Poincaré. La transformación circular z = iw +1 w + i
4.3. Curvas parametrizables 193 convierte el círculo |z| < 1 en el semiplano Im w>0. Se comprueba 2 que dz = −2 dw 2 |dw| , |dz| = (w + i) 2 |w + i| 2 , 1 −|z|2 = 4y . |w + i| 2 De todo esto resulta ds = |dw| y , es decir, que el elemento de longitud hiperbólico en el semiplano de Poincaré es el euclídeo dividido entre la parte imaginaria, de modo que cuando ésta tiende a 0 las longitudes tienden a infinito. Todos los argumentos anteriores valen igualmente para la geometría elíptica, partiendo ahora de una cónica imaginaria f(X1,X2). La única diferencia es un signo en la fórmula sen d(X, Y )= −f 2 (X, Y )+f(X, X)f(Y,Y ) , f(X, X)f(Y,Y ) debido a que la relación fundamental entre los senos y cosenos circulares difiere en un signo respecto a la hiperbólica. Como consecuencia llegamos a 2 ds dt = −f 2 (X, X ′ )+f(X, X)f(X ′ ,X ′ ) f 2 . (X, X) En el modelo esférico, o sea, si suponemos f(X1,X2) =x1x2 + y1y2 + z1z2 y f(X, X) = 1, al derivar respecto de t queda f(X, X ′ ) = 0, y la expresión se reduce a 2 ds = f(X dt ′ ,X ′ )=x ′2 + y ′2 + z ′2 , es decir, ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 , luego la longitud elíptica de un arco contenido en la esfera unitaria coincide con su longitud euclídea. En coordenadas polares elípticas: la expresión es (x, y, z) = (sen ρ cos θ, cos ρ sen θ, sen θ), ds 2 = dρ 2 + sen 2 ρdθ. La longitud de una circunferencia elíptica de radio (elíptico) r es 2π sen r. 2 La teoría de funciones de variable compleja justifica que es lícito calcular dz derivando la expresión anterior como si w fuera una variable real y tratando las constantes imaginarias como constantes reales. Nosotros no hemos probado esto, por lo que el lector puede, si lo desea, hacer los cálculos en términos de las dos variables reales x, y, pero está avisado de que llegará al mismo resultado.
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