Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

200 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
el teorema de la función inversa tenemos que W = F [V ] es abierto en R n+k y
la función G = F −1 : W −→ V es de clase C q .
Podemos expresar G(x, y) = G1(x, y),G2(x, y) . Claramente G1 y G2 son
ambas de clase C q .Si(x, y) ∈ W , entonces
(x, y) =F G(x, y) = F G1(x, y),G2(x, y) = G1(x, y),f G(x, y) ,
luego G1(x, y) =x, con lo que en general G(x, y) = x, G2(x, y) .
Definimos U = {x ∈ Rn | (x, 0) ∈ W }. Es claro que se trata de un abierto.
Además, F (x0 ,y0 )=(x0 , 0) ∈ W , luego x0 ∈ U. Definimos g : U −→ Rk mediante g(x) =G2(x, 0). Claramente g es de clase Cq .
Tomemos ahora x ∈ U e y = g(x). Hemos de probar que (x, y) ∈ V y
f(x, y) = 0. En efecto, por definición de U es (x, 0) ∈ W , luego G(x, 0) ∈ V ,
pero
G(x, 0) = x, G2(x, 0) = x, g(x) =(x, y).
Además (x, 0) = F G(x, 0) = F (x, y) = x, f(x, y) , luego f(x, y) =0.
Recíprocamente, si (x, y) ∈ V y f(x, y) = 0 entonces
F (x, y) = x, f(x, y) =(x, 0) ∈ W,
luego x ∈ U y(x, y) =G F (x, y) = G(x, 0) = x, G2(x, 0) = x, g(x) , con lo
que g(x) =y.
Lo que afirma este teorema es que si S = {x ∈ R n+k | f(x) =0} es un
conjunto determinado por un sistema de k ecuaciones de clase C q y p ∈ S
cumple la hipótesis entonces V ∩ S = X[U], donde X(x) =(x, g(x)), de donde
se sigue que X cumple las condiciones para ser una carta de S alrededor de p.
Si la hipótesis se cumple en todo punto entonces S es una variedad diferenciable
de dimensión n.
Por ejemplo, si f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 − r 2 , entonces el conjunto S es
una esfera. Para comprobar que se trata de una superficie de clase C ∞ basta
comprobar que en cada punto al menos una de las derivadas
∂f
∂x =2x,
∂f
∂y =2y,
∂f
∂z =2z,
es no nula, pero las tres sólo se anulan simultáneamente en (0, 0, 0), que no es
un punto de S, luego, efectivamente, la esfera es una superficie diferenciable.
Es importante observar que la derivada que no se anula no siempre es la
misma. Por ejemplo, en el polo norte (0, 0,r)laúnica derivada que no se anula
es la de z, luego en un entorno podemos expresar z como función z(x, y). Concretamente,
z = r 2 − x 2 − y 2 . Similarmente, la porción de esfera alrededor
del polo sur es la gráfica de la función z = − r 2 − x 2 − y 2 . En cambio, alrededor
de (r, 0, 0) la esfera no es la gráfica de ninguna función z(x, y). Es fácil ver
que dado cualquier entorno U de (r, 0, 0) y cualquier entorno V de (r, 0) siempre
hay puntos (x, y) enU para los cuales hay dos puntos distintos (x, y, ±z) enU