Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 241
Ahora probamos que T es contractivo, con constante α = Nh0 < 1. En
efecto,
T (y)(t, µ) − T (z)(t, µ)∞ =máx
i
≤ máx
i
t
t0
Ny(t, µ) − z(t, µ)∞ dt
t
t0
fi(t, y(t, µ),µ) − fi(t, z(t, µ),µ)
dt
≤ N máx
i
t
t0
y − z dt
≤ Nh0y − z.
Por definición de norma supremo resulta T (y) − T (z) ≤αy − z. El
teorema anterior implica ahora la existencia de una única función y ∈ M tal
que
y(t, µ) =y 0 t
+ f(t, y, µ) dt,
pero es claro que esto equivale a ser solución del problema de Cauchy, luego éste
tiene solución única.
En la práctica, hay una hipótesis más fuerte que la condición de Lipschitz
que hemos exigido en el teorema anterior pero que es más fácil de comprobar.
Se trata de exigir simplemente que la función f sea de clase C 1 .
Teorema 6.7 Sea f : D ⊂ R n −→ R m una función de clase C 1 en un abierto
D. Para todo subconjunto compacto convexo C ⊂ D existe una constante N tal
que si y, z ∈ C entonces f(y) − f(z)∞ ≤ Ny − z∞.
Demostración: Si llamamos f1,...,fm a las funciones coordenadas de f,
basta probar que |fi(y) − fi(z)| ≤Niy − z∞ para todo y, z ∈ C, pues tomando
como N la mayor de las constantes Ni se cumple la desigualdad buscada.
Equivalentemente, podemos suponer que m =1.
Dados y, z ∈ C, consideramos la función g(h) =f y + h(z − y) , definida en
[0, 1], pues C es convexo. Se cumple g(0) = f(y), g(1) = f(z). Por el teorema
del valor medio existe 0