Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

456 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo
De aquí llegamos a
∂ı
∆E − µ
∂t + ∂2D ∂t2
= 1
ɛ ∇ρ.
∆E − µɛ ∂2E 1 ∂ı
= ∇ρ + µ . (13.7)
∂t2 ɛ ∂t
Un razonamiento similar nos da
∆H − µɛ ∂2H = − rotı. (13.8)
∂t2 Las ecuaciones en derivadas parciales (13.5), (13.6), (13.7) y (13.8) se diferencian
únicamente en el término independiente (el que no contiene a la incógnita
V , A, E o H). Ello hace que su resolución pueda ser estudiada en general, cosa
que hacemos en la sección siguiente. Notemos, no obstante, que si las magnitudes
son invariantes con el tiempo todas ellas son ecuaciones de Poisson, que ya
sabemos resolver, y nos llevan a los resultados de las secciones anteriores.
Energía electromagnética Apliquemos la relación (10.11) a los campos E
y H, es decir:
div(E ∧ H) = (rot E)H − E(rot H).
Si lo aplicamos a los campos E y H, las ecuaciones de Maxwell implican
div(E ∧ H) =−H ∂B
∂t
− E ∂D
∂t
∂ µH
− Eı = −
∂t
2 ∂ ɛE
−
2 ∂t
2
− Eı.
2
Fijado un volumen Ω, podemos aplicar el teorema de la divergencia:
2
∂ µH ɛE2
+ dm + Eıdm= − dΦ(E ∧ H) (13.9)
∂t Ω 2 2
Ω
∂Ω
Observemos que si sobre un objeto de masa m que se mueve con velocidad
v actúa una fuerza F , su energía cinética es (1/2)mv2 , luego la variación de
esta energía es mva = vF. En nuestro caso, si llamamos v a la velocidad de
las cargas en cada punto (y recordando que dm es el elemento de volumen), se
cumple Eıdm = Eρvdm = Ev dq =(E + v ∧ B)vdq = vdF, luego el segundo
término del primer miembro de la igualdad anterior es el aumento de energía
cinética del fluido eléctrico producido por el campo electromagnético.
Esto nos lleva a definir la energía potencial electromagnética acumulada en
un volumen Ω como
E = ∂
2 µH ɛE2
+ dm
∂t Ω 2 2
De este modo, la relación anterior es una ley de conservación: si tomamos
Ω suficientemente grande como para que los campos sean nulos en su frontera,
tenemos que la energía total (cinética más potencial) permanece constante. Más
en general, el vector P = E ∧ H recibe el nombre de vector de Poynting, ysu