Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

50 Capítulo 1. Topología
y de aquí,
∞
n=1
ar n =lím n
a − arn+1 .
1 − r
Si |r| > 1 sabemos que lím ar
n n+1 = ∞, de donde se sigue que la serie diverge.
Por otro lado, si |r| < 1, entonces lím ar
n n+1 = 0, luego
Por ejemplo:
∞
n=1
ar n = a
1 − r .
1 1 1 1 1
+ + + + + ··· =
2 4 8 16 32
1
2
1 − 1
2
=1.
Así pues, las series geométricas convergen cuando la razón tiene módulo
menor que 1, y su suma es el primer término dividido entre 1 menos la razón.
Ejemplo: expansiones decimales Es conocido que todo número natural n
puede expresarse de la forma n = r
ai10i , donde a0,a1,...,ar son números
i=1
naturales menores que 10. Además, para n = 0 la expresión es única si exigimos
ar = 0. De hecho usamos esta expresión para nombrar a cada número natural,
por ejemplo
4.275 = 4 · 10 3 +2· 10 2 +7· 10 1 +5· 10 0 .
Más en general, dado un número natural k ≥ 2, todo número natural puede
expresarse en la forma r
aik
i=0
i , donde a0,a1,...,ar son números naturales menores
que k.
Vamos a extender esta notación para nombrar a ciertos números racionales.
En lo sucesivo, una expresión como ésta: 23, 472 representará alnúmero
2 · 10 1 +3· 10 0 +4· 10 −1 +7· 10 −2 +2· 10 −3 .
Es decir, del mismo modo que el 2 se interpreta multiplicado por 10, el
primer número a la derecha de la coma se considerará dividido entre 10, el
segundo entre 100, etc. De este modo, los números
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
dividen al intervalo unidad en 10 partes iguales. Cada una de estas partes se
divide a su vez en 10 partes añadiendo una cifra más, por ejemplo:
0, 3 0, 31 0, 32 0, 33 0, 34 0, 35 0, 360, 37 0, 38 0, 39 0, 4
es una división del intervalo [0, 3 , 0, 4] en 10 partes iguales.