Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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126 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable Entonces, dados y ∈ ]a, b[ ym, n ≥ n0, siy= x se cumple |Fn(y) − Fm(y)| = fn(x) − fn(y) − x − y fm(x) ≤ − fm(y) x − y 1 x − y |fn(x) − fm(x) − fn(y)+fm(y)| Aplicamos el teorema del valor medio a la función fn − fm en el intervalo [y, x] (suponemos, por ejemplo, y
3.7. La función exponencial 127 la igualdad de los radios de convergencia en el caso general. De aquí se sigue inmediatamente que una serie de potencias con coeficientes y centro reales es una función de clase C ∞ en su intervalo real de convergencia, y además coincide con su serie de Taylor. 3.7 La función exponencial Vamos a aplicar las ideas de las secciones precedentes a la construcción de las funciones más importantes del análisis: la exponencial, la logarítmica y las trigonométricas. En esta sección nos ocuparemos de la función exponencial. Hasta ahora tenemos definido a r cuando a es un número real positivo y r es un número racional. No es difícil probar que la función r ↦→ a r admite una única extensión continua a R que sigue conservando la propiedad a x+y = a x a y . Además esta función es infinitamente derivable y coincide en todo punto con su serie de Taylor en 0. En lugar de probar todos estos hechos lo que haremos será definir la función exponencial a partir de su serie de Taylor, para lo cual no necesitaremos siquiera el hecho de que ya la tenemos definida sobre Q. No obstante, ahora vamos a suponer la existencia de la función a x ,así como que es derivable, y vamos a calcular su serie de Taylor. Así obtendremos la serie que deberemos tomar como definición. Sea f(x) =a x . Entonces, f ′ a (x) = lím h→0 x+h − ax = a h x a lím h→0 h − 1 h = axf ′ (0). Llamemos k = f ′ (0). Entonces hemos probado que f ′ (x) =kf(x), luego por inducción concluimos que f es infinitamente derivable y f n) (x) =knf(x). No puede ser k = 0, o de lo contrario f sería constante. Sea e = a1/k = f(1/k). Entonces la función g(x) =ex = ax/k = f(x/k) cumple g ′ (x) =f ′ (x/k)(1/k) = f(x/k) =g(x), es decir, escogiendo adecuadamente la base e obtenemos una función exponencial que coincide con su derivada. Su serie de Taylor en 0 es entonces fácil de calcular: todas las derivadas valen e0 = 1, lo cual nos lleva a la definición siguiente: Definición 3.30 Llamaremos función exponencial a la definida por la serie de potencias e z ∞ z = n=0 n n! . Puesto que 1/(n + 1)! 1 lím =lím n 1/n! n n =0, el radio de convergencia es infinito, luego la exponencial está definida sobre todo número complejo z. Elúltimo teorema de la sección anterior implica que la exponencial real es derivable, y su derivada en un punto x es ∞ nxn−1 n! = ∞ xn−1 (n − 1)! = ∞ xn n! = ex . n=1 n=1 n=0
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ÍNDICE DE MATERIAS 479 adherente,
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