Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

108 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
La función G está definida para los puntos k tales que b + k ∈ B. Como B
es abierto, G está definida al menos para h en un intervalo ]−ɛ, ɛ[ \{0}. Como
g es derivable en b, existe lím G(k) = 0, luego si definimos G(0) = 0 tenemos
k→0
que G es continua en un entorno de 0. Claramente además
g(b + k) − g(b) = g ′ (b)+G(k) k.
Ahora tomamos h = 0 tal que a + h ∈ A y k = f(a + h) − f(a), con lo que
se cumple f(a + h) =b + k, luego b + k ∈ B y está definido G(k). Entonces
g f(a + h) − g f(a) = g ′ (f(a)) + G(k) k
= g ′ (f(a)) + G(k) f(a + h) − f(a) .
En consecuencia
(f ◦ g)(a + h) − (f ◦ g)(a)
h
= g ′ (f(a)) + G(f(a + h) − f(a)) f(a + h) − f(a)
.
h
Usando la continuidad de f en a yladeG en 0, tomamos el límite cuando
h tiende a 0 y queda que existe (f ◦ g) ′ (a) =g ′ (f(a))f ′ (a).
Ejemplo La función h(x) = √ x 2 + 1 es derivable en R, pues es la composición
del polinomio f(x) =x 2 + 1 con la función g(x) = √ x, y ambas funciones son
derivables en sus dominios. Sabemos que f ′ (x) =2x y g ′ (x) =1/(2 √ x). La
regla de la cadena nos da que
h ′ (x) =g ′ (x 2 +1)f ′ (x) =
2x
2 √ x2 +1 =
x
√ .
x2 +1
El lector que no esté familiarizado con el cálculo de derivadas debería practicar
hasta que la derivación le resultara un acto mecánico. Hay muchos libros
adecuados para ello, por lo que en adelante dejaremos de justificar los cálculos
de derivadas.
3.3 Propiedades de las funciones derivables
La derivada de una función contiene mucha información sobre ésta. Consideremos
por ejemplo
f(x) = x5 x3
−
10 2 +2, f′ (x) = x4 3
−
2 2 x2 .
La figura de la página siguiente muestra las gráficas. Fijémonos en el signo
de la derivada. Es fácil ver que f ′ tiene una raíz doble en 0 y dos raíces simples
en ± √ 3. La restricción de f ′ a cada uno de los intervalos −∞, − √ 3 ,
√ √ √
− 3, 0 , 0, 3 y 3, +∞ es una función continua que no se anula, luego
por el teorema de los valores intermedios f ′ tiene signo constante en cada uno
de ellos. Es fácil ver entonces que el signo de f ′ varía como indica la gráfica, es
decir, f ′ es positiva en los dos intervalos no acotados y negativa en los acotados.