Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

160 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
basta considerar a y como una constante (la segunda coordenada del punto en
que derivamos) y derivar respecto de x. Lo mismo vale para y.
Es claro que todas las reglas de derivación de funciones de una variable
pueden ser usadas en el cálculo de derivadas parciales.
Ejercicio: Sean dos funciones derivables f,g : I ⊂ R −→ R n . Probar la regla de
derivación (fg) ′ = f ′ g + fg ′ .Sin = 3 se cumple también (f ∧ g) ′ = f ′ ∧ g + f ∧ g ′ .
El hecho de que una función admita derivadas direccionales en un punto no
puede ser equiparado a la derivabilidad de una función de una variable. Por
ejemplo, la existencia de derivadas direccionales no implica siquiera la continuidad
de la función en el punto. La generalización adecuada del concepto de
función derivable es el concepto de “función diferenciable”, que vamos a introducir
ahora.
Recordemos que si una función de una variable f tiene derivada en un
punto a, entonces podemos definir su diferencial en a, que es una aplicación
lineal df (a) :R −→ R con la propiedad de que f(a)+df (a)(x − a) es una recta
que “se confunde” con f alrededor de a. Una función de varias variables será
diferenciable cuando exista una aplicación lineal que juegue un papel análogo:
Definición 4.3 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una función definida en un abierto A.
Sea a ∈ A. Diremos que f es diferenciable en A si existe una aplicación lineal
φ : Rn −→ Rm tal que
f(a + v) − f(a) − φ(v)
lím
=0.
v→0 v
Para analizar esta definición conviene comenzar probando lo siguiente:
Teorema 4.4 Sea f : A ⊂ R n −→ R m una función diferenciable en un punto
a ∈ A. Sea φ : R n −→ R m una aplicación lineal que cumpla la definición
anterior. Entonces, para cada vector v ∈ R n no nulo existe f ′ (a; v) y además
φ(v) =f ′ (a; v).
Demostración: Obviamente hv tiende a 0 cuando h tiende a 0. Por lo
tanto, restringiendo el límite de la definición de diferenciabildad concluimos que
f(a + hv) − f(a) − φ(hv)
lím
=0.
h→0 hv
Usando que φ y la norma son lineales vemos que
1
lím
h→0 v
f(a + hv) − f(a)
|h|
− h
|h| φ(v)
=0.
Claramente podemos eliminar el factor 1/v sin que el límite varíe. Ahora
multiplicamos por la función R \{0} −→{±1} dada por h ↦→ |h|/h y usamos
que el producto de una función que tiende a 0 por otra acotada tiende a 0:
f(a + hv) − f(a)
lím
− φ(v) =0,
h→0 h